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第1章 引言 1

1.1 从一道北京大学优秀中学生暑期课堂文化测评试题谈起 1

1.2 再谈一道2016年全国高中联赛试题 16

1.3 高手在民间 22

第2章 华罗庚论Hurwitz定理 38

2.1 从一道日本奥数题谈起 38

2.2 渐近法与连分数 44

第3章 入宝山不能空返 92

3.1 简单连分数 93

3.2 Chebyshev定理及Khinchin定理 99

第4章 阶梯式学习法 109

4.1 自然逼近 109

4.2 Farey数列 112

4.3 Hurwitz定理 115

4.4 Liouville定理 119

4.5 注记与答案 124

第5章 推广与改进 137

5.1 两位数论专家的推广与改进 137

5.2 Hurwitz定理的推广 139

5.3 Hurwitz定理的一个证明及其改进 150

5.4 无理数的Diophantus逼近与Hurwitz定理 155

5.5 反结果 162

第6章 将Hurwitz定理推广到复域 166

6.1 魔鬼藏在细节中 166

6.2 Ford定理——复数的有理逼近 169

第7章 Farey级数研究的历史与现状 181

7.1 Dickson论Farey级数 181

7.2 Mahler对Farey级数的推广 188

第8章 一致分布数列 191

8.1 等分布数列问题 191

8.2 等分布 215

第9章 Roth与Roth定理 267

9.1 引言 267

9.2 Roth定理与菲尔兹奖 272

9.3 几个重要无理数的逼近 276

9.4 推广到复数域后 279

9.5 分形几何学的逼近问题 281

9.6 与逼近有关的竞赛问题 283

9.7 几个未解决的问题 290

9.8 Hurwitz定理的一个简单证明 292

第10章 普林斯顿大学数学能力测验中的Diophantus逼近问题 298

10.1 小而美的普林斯顿大学数学系 298

10.2 普林斯顿大学数学能力测验一例 309

10.3 解Diophantus方程的Diophantus逼近方法 333

第11章 来自爱丁堡国际会议的文献 344

11.1 代数数的有理逼近 344

第12章 来自波兰的报告 356

12.1 来自波兰的报告 356

12.2 Algebraic Numbers and P-Adic Numbers 363

12.3 1918～1939年波兰数学学派的影响概述 372

12.4 波兰数学学派的兴起 394

第13章 超越数论中的逼近定理 412

13.1 从一道上海中学生数学竞赛试题谈起 412

13.2 来自俄罗斯的文献 417

第14章 自古英雄出少年 511

14.1 2017年高考数学天津卷压轴题的高等数学背景 511

14.2 被数学抓住时都很年轻 516

14.3 数学大师不只是数学家 518

14.4 数学大师早年生活 519

14.5 走近数学大师 527

14.6 18岁博士毕业的神童——“控制论之父”维纳 528

14.7 新生代数学界最恐怖的存在 537

第15章 向Roth致敬 543

15.1 Roth定理及它的历史 543

15.2 Thue方程 546

15.3 组合引理 549

15.4 进一步辅助引理 554

15.5 一个多项式的指数 558

15.6 指数定理 562

15.7 在（α，α，…，α）附近的有理点P（x1,…，xm）的指数 564

15.8 广义朗斯基行列式 567

15.9 Roth引理 571

15.10 Roth定理证明的总结 578

15.11 Classical Metric Diophantine Approximation Revisited 584

15.12 On the Convergents to Algebraic Numbers 634

15.13 On Exponential Sums with Multiplicative Coefficients 653

15.14 Approximation Exponents for Function Fields 666

第16章 其他数学分支中被冠以Hurwitz定理的几例 697

16.1 关于Dirichlet级数的Hurwitz复合定理 697

16.2 Hurwitz复合定理在Dirichlet级数中的推广 705

16.3 多复变情形的Hurwitz定理 714

16.4 区间多项式的Routh-Hurwitz定理及其应用 718

16.5 对Hurwitz定理的一个推广 725