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第十五章 曲线积分·斯底尔吉斯积分 1

1.第一型曲线积分 1

517.第一型曲线积分的定义 1

518.约化为普通定积分 3

519.例 5

2.第二型曲线积分 10

520.力场中功的问题 10

521.第二型曲线积分的定义 12

522.第二型曲线积分的存在与计算 15

523.闭路的情形·平面的定向 18

524.例 20

525.用取在折线上的积分的逼近法 25

526.用曲线积分计算面积 26

527.例 30

528.两不同型曲线积分间的关系 33

529.物理问题 35

3.曲线积分与道路无关的条件 39

530.与全微分相关问题的提出 39

531.与道路无关积分的微分法 40

532.用原函数来计算曲线积分 43

533.确切微分的判别与在矩形区域的情况下原函数的求法 44

534.推广到任意区域的情形 46

535.最终结果 49

536.沿闭路的积分 50

537.非单连区域或有奇点的情形 51

538.高斯积分 56

539.空间的情形 58

540.例 61

541.物理问题的应用 65

4.有界变差函数 68

542.有界变差函数的定义 68

543.有界变差函数类 70

544.有界变差函数的性质 73

545.有界变差函数的判定法 77

546.连续的有界变差函数 79

547.可求长曲线 82

5.斯底尔吉斯积分 86

548.斯底尔吉斯积分的定义 86

549.斯底尔吉斯积分存在的一般条件 87

550.斯底尔吉斯积分存在情况的若干类 88

551.斯底尔吉斯积分的性质 91

552.分部积分法 94

553.化斯底尔吉斯积分为黎曼积分 95

554.斯底尔吉斯积分的计算 97

555.例 102

556.斯底尔吉斯积分的几何解说 108

557.中值定理，估计值 109

558.斯底尔吉斯积分记号下面的极限过程 111

559.例题及补充 113

560.化第二型曲线积分为斯底尔吉斯积分 118

第十六章 二重积分 120

1.二重积分的定义及简单性质 120

561.柱形长条体积的问题 120

562.化二重积分为逐次积分 121

563.二重积分的定义 123

564.二重积分存在的条件 125

565.可积函数类 126

566.下积分及上积分作为极限 129

567.可积函数与二重积分的性质 130

568.积分当作区域的可加函数，对区域的微分法 133

2.二重积分的计算 136

569.在矩形区域的情况下化二重积分为逐次积分 136

570.例 140

571.在曲边区域的情况下化二重积分为逐次积分 150

572.例 153

573.力学应用 167

574.例 169

575.格林公式的推演 177

3.格林公式 177

576.应用格林公式到曲线积分的研究 181

577.例题及补充 182

4.二重积分中的变数更换 185

578.平面区域的变换 185

579.例 188

580.曲线坐标中面积的表示法 193

581.补充说明 196

582.几何推演 198

583.例 200

584.二重积分中的变数更换 209

585.与单积分的相似处，在定向区域上的积分 211

586.例 213

5.广义二重积分 220

587.展布在无界区域上的积分 220

588.广义二重积分的绝对收敛性定理 223

589.化二重积分为逐次积分 225

590.无界函数的积分 228

591.广义积分中的变数更换 230

592.例 232

593.曲面的侧 249

第十七章 曲面面积·曲面积分 249

1.双侧曲面 249

594.例 251

595.曲面和空间的定向 252

596.法线方向余弦公式中符号的选择 254

597.分片光滑曲面的情形 256

2.曲面面积 257

598.许瓦耳兹的例子 257

599.曲面面积的定义 259

600.附注 260

601.曲面面积的存在及其计算 262

602.用内接多面形的接近法 267

603.面积定义的特殊情况 269

604.例 270

3.第一型曲面积分 285

605.第一型曲面积分的定义 285

606.化为寻常的二重积分 286

607.第一型曲面积分在力学上的应用 288

608.例 290

609.第二型曲面积分的定义 297

4.第二型曲面积分 297

610.最简单的特殊情形 299

611.一般情形 302

612.证明的细节 304

613.用曲面积分表立体体积 305

614.斯托克斯公式 310

615.例 312

616.斯托克斯公式在研究空间曲线积分上的应用 318

617.立体质量计算的问题 321

第十八章 三重积分及多重积分 321

1.三重积分及其计算 321

618.三重积分及其存在的条件 322

619.可积函数与三重积分的性质 323

620.展布在平行六面体上的三重积分的计算 325

621.在任何区域上的三重积分的计算 327

622.广义三重积分 329

623.例 329

624.力学应用 337

625.例 338

2.高斯-奥斯特洛格拉斯基公式 346

626.高斯-奥斯特洛格拉斯基公式 346

627.高斯-奥斯特洛格拉斯基公式应用于曲面积分的研究 349

628.高斯积分 350

629.例 352

3.三重积分中的变数更换 355

630.空间的变换及曲线坐标 355

631.例 356

632.曲面坐标下的体积表示法 358

633.补充说明 361

634.几何推演 362

635.例 363

636.三重积分中的变数更换 371

637.例 373

638.立体的吸引力及在内点上的位势 378

4.场论初步 380

639.纯量及向量 380

640.纯量场及向量场 381

641.梯度 381

642.向量通过曲面的流量 383

643.高斯-奥斯特洛格拉斯基公式·发散量 384

644.应用 386

645.向量的循环量·斯托克斯公式·旋度 389

646.应用 391

5.多重积分 394

647.两立体间的引力及位势问题 394

648.n维立体的体积·n重积分 396

649.n重积分中的变数更换 398

650.例 402