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第1章 复数 1

1.1复数域 1

1.1.1代数运算 1

1.1.2共轭复数 2

1.1.3绝对值（模） 4

1.2复数的几何表示 5

1.2.1复平面 6

1.2.2三角表示 7

1.2.3 二项方程 9

1.2.4球面表示 11

1.3复平面的拓扑 13

1.3.1拓扑概念 13

1.3.2连通性 15

1.3.3 完备性 16

1.3.4简单曲线 18

1.4复数的指数表示 21

1.4.1复数级数 21

1.4.2指数表示 24

1.5线性变换 27

1.5.1线性变换转化条件 27

1.5.2分式线性变换 29

1.5.3交比 31

1.5.4对称性 33

1.5.5圆族 35

第2章 复变函数 38

2.1连续函数 38

2.1.1函数概念 38

2.1.2函数极限 41

2.1.3连续性 42

2.2导数 44

2.2.1导数概念 44

2.2.2可导必要条件 46

2.2.3高阶导数 48

2.3微分与全微分 49

2.3.1微分 49

2.3.2全微分 50

2.3.3可导充分条件 53

2.4可积函数 55

2.4.1积分概念 55

2.4.2 积分性质 58

2.5一致收敛性 60

2.5.1函数序列 60

2.5.2函数级数 61

2.6正合微分 62

2.6.1积分与路径无关条件 62

2.6.2不定积分 66

2.7多值复变函数 67

2.7.1辐角函数 68

2.7.2 对数函数 69

2.7.3反三角函数 71

第3章 全纯函数 74

3.1全纯与共形 74

3.1.1全纯概念 74

3.1.2共形映射 75

3.2 Cauchy定理 77

3.2.1单连通区域情形 77

3.2.2多连通区域情形 80

3.3 Cauchy公式 82

3.3.1积分表示 82

3.3.2导数公式 84

3.4导数公式的应用 86

3.4.1全纯与偏导数 86

3.4.2 Cauchy不等式 88

3.5 Cauchy定理一般形式 90

3.5.1单连通性 90

3.5.2同调闭链 93

3.6全纯与闭路径积分 95

3.6.1 Morera定理 95

3.6.2 Weierstrass定理 96

第4章 调和函数 98

4.1 Laplace方程 98

4.2调和与全纯 99

4.2.1共轭微分 99

4.2.2 共轭调和函数 100

4.3均值性质 101

4.4 Poisson公式 103

第5章 解析函数 106

5.1幂级数 106

5.2全纯与解析 110

5.3解析函数的零点 115

5.3.1唯一性定理 115

5.3.2零点孤立性 118

5.4解析延拓 118

5.4.1延拓概念 118

5.4.2幂级数延拓法 119

5.4.3对称原理 121

第6章 奇点理论 124

6.1 Laurent理论 124

6.1.1 Laurent级数 124

6.1.2 Laurent展式 126

6.2奇点分类及特征 127

6.2.1孤立奇点 127

6.2.2 极点特征 130

6.2.3 本性奇点 132

6.2.4无穷远点 133

6.3留数计算 133

6.3.1留数定理 133

6.3.2极点留数 135

6.4求定积分 136

6.4.1三角函数有理式积分 136

6.4.2有理函数无穷积分 137

6.4.3含三角函数无穷积分 137

第7章 亚纯函数 140

7.1辐角原理 140

7.1.1亚纯概念 140

7.1.2辐角原理 140

7.1.3 Rouché定理 142

7.2极值原理 145

7.2.1开映射 145

7.2.2极值原理 146

7.3 Mittag-Leffler定理 148

7.4 Poisson-Jensen公式 152

7.4.1 Poisson-Jensen公式 152

7.4.2 Jensen公式 154

第8章 整函数 157

8.1无穷乘积 157

8.1.1收敛与发散 157

8.1.2绝对收敛 159

8.1.3一致收敛 160

8.2整函数因子分解 162

8.2.1因子分解问题 162

8.2.2因子分解定理 164

8.3 Г函数 167

8.3.1 Gauss公式 167

8.3.2 典型乘积表示 169

8.3.3 Г函数特征 171

8.4 Riemannζ函数 174

8.4.1 Euler乘积 174

8.4.2延拓公式 175

8.4.3函数方程 177

第9章 椭圆函数 180

9.1模与格 180

9.1.1模 180

9.1.2格 181

9.2周期函数 184

9.2.1周期概念 184

9.2.2周期平行四边形 185

9.2.3四个基本定理 186

9.3 Weierstrass理论 188

9.3.1 Weierstrass？函数 188

9.3.2 Weierstrassσ函数 190

9.3.3微分方程 191

9.4自守函数 193

参考文献 197

符号索引 199

名词索引 200