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序 3

第一章 线性空间 1

§1.1．引言 1

§1.2．线性矢量空间 2

§1.3．En和E∞中的数量积 5

§1.4．抽象空间中的数量积 7

§1.5．收敛和完备空间 10

§1.6．线性流形和子空间 12

§1.7．线性矢量空间的表示法 18

§1.8．正交化 20

§1.9．射影定理和线性泛函 22

§1.10．线性算子 27

§1.11．算子的表示法 30

§1.12．算子的反演 34

§1.13．恒等算子与小算子之和的反演 40

§1.14．全连续算子 46

§1.15．伴随算子 51

§1.16．方程Lx＝a的解的存在和唯一性 54

§1.17．闭值域算子 59

附录Ⅰ．射影定理 62

附录Ⅱ．闭值域算子与并矢之和 64

第二章 算子的谱理论 69

§2.1．引言 69

§2.2．不变流形（子空间） 69

§2.3．可交换算子 76

§2.4．广义本征矢量 82

§2.5．算子在广义零空间中的表示 85

§2.6．有穷维空间上算子的标准形 92

§2.7．相似变换 98

§2.8．矩阵的左本征矢量及右本征矢量 102

§2.9．伴随算子的本征值 107

§2.10．矩阵的特征方程 109

§2.11．自伴算子 112

§2.12．正交矩阵 116

§2.13．酉矩阵及埃尔米特矩阵 119

§2.14．二次型 121

§2.15．一个积分的计算 125

§2.16．同时化两个二次型为平方和 128

§2.17．算子的谱表示 131

§2.18．算子函数 135

§2.19．谱表示与复变积分 140

§2.20．特征方程与矩阵函数 142

§2.21．差分方程组或微分方程组 145

§2.22．一般空间中的算子 148

§2.23．连续谱的例子 151

附录．定理2.11的证明 155

第三章 格林函数 158

§3.1．引言 158

§3.2．恒等算子作为一个积分算子 158

§3.3．δ函数的意义 160

§3.4．检验函数与广义函数 162

§3.5．广义函数的导数 165

§3.6．通常函数的广义导数 167

§3.7．广义导数的例子 168

§3.8．逆微分算子——例 171

§3.9．线性微分算子的定义域 173

§3.10．伴随微分算子·埃尔米特算子 176

§3.11．自伴二阶微分算子 180

§3.12．广义运算 182

§3.13．格林函数与δ函数 186

§3.14．格林函数——例1 189

§3.15．格林函数——例2 192

§3.16．格林函数——例3 193

§3.17．非混合边界条件的格林函数 197

§3.18．非齐次边界条件 200

§3.19．齐次方程有非零解的情形 203

§3.20．一般边界条件下的格林函数 206

§3.21．伴随方程的格林函数 208

§3.22．不连续条件 209

§3.23．波的传播与散射 212

附录Ⅰ．方程（3.30）解的存在性 223

附录Ⅱ．对大x值的解 228

第四章 常微分方程的本征值问题 233

§4.1．引言 233

§4.2．按本征函数展开——例1 234

§4.3．按本征函数展开——例2 236

§4.4．按本征函数展开的一般理论 237

§4.5．按本征函数展开——例3 242

§4.6．按本征函数展开——例4 245

§4.7．用变分法求本征值的近似值 248

§4.8．格林函数与谱表示 255

§4.9．谱表示——例 257

§4.10．连续谱——例 260

§4.11．格林函数的奇点 265

§4.12．重本征函数与格林函数的重极点 269

§4.13．离散谱的摄动法 272

§4.14．连续谱——例 275

§4.15．连续谱的直接逼近方法 279

§4.16．连续谱的摄动法 284

§4.17．连续谱的规格化——例 288

§4.18．连续谱的规格化与波的散射 293

§4.19．谱表示总结 297

附录．定理4.7的证明 300

第五章 偏微分方程 302

§5.1．引言 302

§5.2．偏微分算子的格林函数 304

§5.3．变量分离法 310

§5.4．二可交换算子之和的逆算子 314

§5.5．格林函数的两种表达形式 318

§5.6．边界值问题 320

§5.7．一个表面矛盾 323

§5.8．将一个表达式变成另一个 326

§5.9．将一个表达式变成另一个——例 328

§5.10．二可交换算子之和的谱表示 331

§5.11．三个可交换算子之和的逆算子一例 335

§5.12．偏微分算子的谱表示 338

§5.13．连续谱的物理意义 340

§5.14．不同坐标系下的δ函数 346

§5.15．初值问题 350

§5.16．波动方程的格林函数 355