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第一章 复数 1

1.1 复数的概念 1

1.2 复数的四则运算 1

1.3 共轭复数 3

1.4 复数的几何表示法 4

1.5 复数的模与辐角公式 7

1.6 复数的方根 9

1.7 复数的和、差的几何表示及其模的不等式 11

1.8 复数的模与辐角的公式的应用 12

1.9 无穷远点与复数球面 17

提要与习题 18

第二章 平面点集初步 24

2.1 点集概念 24

2.2 邻域、内点、外点、界点、聚点 24

2.3 区域 27

2.4 约当曲线 27

2.5 单连通区域与复连通区域 28

2.6 复盖定理、聚点原理 32

提要与习题 36

第三章 解析函数 40

3.1 复变函数的概念 40

3.2 函数极限与函数的连续性 42

3.3 解析函数的概念 48

3.4 微分法的基本公式 50

3.5 歌西--黎曼条件 52

提要与习题 57

第四章 初等函数 63

4.1 指数函数 63

4.2 三角函数与双曲线函数 65

4.3 对数函数 69

4.4 反三角函数与反双曲线函数 75

4.5 一般幂函数 77

提要与习题 83

第五章 复变函数积分 89

5.1 复变函数积分的概念 89

5.2 积分的存在定理及其计算公式 91

5.3 积分的基本性质 94

5.4 解析函数的基本定理 97

5.5 复连通区域的歌西积分定理 105

5.6 歌西积分公式 107

5.7 解析函数的高阶导数 111

5.8 歌西不等式 116

5.9 李乌威尔定理 117

5.10 代数基本定理 117

5.11 不定积分 119

5.12 莫瑞拉定理 121

提要与习题 122

第六章 数值级数与函数项级数 130

6.1 序列 130

6.2 复数项级数 132

6.3 绝对收敛级数 133

6.4 函数项级数 138

6.5 幂级数 145

6.6 负整数次幂级数 152

提要与习题 153

第七章 解析函数的台劳展开式及其应用 161

7.1 解析函数的台劳展开式 161

7.2 初等函数的台劳展开式 165

7.3 解析函数的零点的孤立性与唯一性定理 170

7.4 最大模原理 173

7.5 幂级数系统的歌西不等式 175

提要与习题 176

第八章 解析函数的罗朗展开式与孤立奇点 181

8.1 罗朗级数 181

8.2 解析函数的罗朗展开式 182

8.3 孤立奇点的分类 189

8.4 可去奇点 190

8.5 极点 191

8.6 本性奇点 194

8.7 无穷远点是奇点的情形 196

8.8 整函数与亚纯函数 198

提要与习题 201

第九章 留数理论及其应用 207

9.1 留数的概念与计算 207

9.2 无穷远点的留数概念及其计算 211

9.3 留数基本定理 212

9.4 解析函数的零点的个数与辐角原理 214

9.5 路西定理 217

9.6 代数基本定理的又一证明 219

9.7 利用留数理论计算定积分 219

提要与习题 232

第十章 保形映照与线性变换 240

10.1 保角映照的一般概念--导数的几何意义 240

10.2 单叶解析函数的保形性 247

10.3 分式线性变换的保形性 247

10.4 线性变换保持交比的不变性 250

10.5 线性变换的分解 253

10.6 线性变换的保圆性 255

10.7 对称点的不变性 257

10.8 三个重要的线性变换 258

10.9 保形映照的黎曼存在定理 263

10.10 保形映照的边界对应定理 264

10.11 正整次幂函数与指数函数所构成的映照 268

提要与习题 272

第十一章 解析开拓 278

11.1 解析开拓的概念 278

11.2 两个常用的解析开拓的方法 279

11.3 解析开拓的幂级数方法 281

11.4 函数不能作解析开拓的例 283

11.5 黎曼曲面 286

11.6 对称原理 288

11.7 完全解析函数的概念 291

11.8 上半平面到多角形的保形映照 292

提要与习题 299

第十二章 调和函数 304

12.1 调和函数的定义和基本性质 304

12.2 中值公式 308

12.3 普阿松公式与狄里克莱问题 309

提要与习题 315

附录 部分习题参考答案 318