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第一节 变量与函数 1

前言页 1

一、常量与变量 1

第一章 函数与极限 1

习题2-4 2

二、函数概念 3

第二版前言 6

三、函数的表示法 6

第一版前言 7

四、函数记号 8

五、函数的几种特性 10

六、反函数 13

习题1-1 15

第二节 初等函数 17

一、幂函数 17

二、指数函数与对数函数 18

三、三角函数与反三角函数 20

四、复合函数 初等函数 24

五、双曲函数与反双曲函数 26

习题1-2 30

第三节 数列的极限 32

习题1-3 39

第四节 函数的极限 39

一、自变量趋向有限值时函数的极限 40

二、自变量趋向无穷大时函数的极限 45

习题1-4 46

第五节 无穷小与无穷大 47

一、无穷小 47

二、无穷大 48

习题1-5 51

第六节 极限运算法则 52

习题1-6 58

第七节 极限存在准则 两个重要极限 59

柯西极限存在准则 65

习题1-7 66

第八节 无穷小的比较 67

习题1-8 69

第九节 函数的连续性与间断点 69

一、函数的连续性 69

二、函数的间断点 72

习题1-9 75

第十节 连续函数的运算与初等函数的连续性 76

一、连续函数的和、积及商的连续性 76

二、反函数与复合函数的连续性 77

三、初等函数的连续性 79

习题1-10 80

一、最大值和最小值定理 81

第十一节 闭区间上连续函数的性质 81

二、介值定理 82

三、一致连续性 84

习题1-11 85

第二章 导数与微分 87

第一节 导数概念 87

一、变化率问题举例 87

二、导数的定义 90

三、求导数举例 92

四、导数的几何意义 96

五、函数的可导性与连续性之间的关系 98

习题2-1 100

第二节 函数的和、差、积、商的求导法则 102

一、函数和、差的求导法则 102

二、常数与函数的积的求导法则 103

三、函数积的求导法则 106

四、函数商的求导法则 108

习题2-2 110

第三节 复合函数的求导法则 112

习题2-3 118

第四节 基本初等函数的导数 初等函数的求导问题 119

一、反函数的导数 119

二、指数函数的导数 120

习题2-4 121

三、反三角函数的导数 122

四、初等函数的求导问题 125

五、双曲函数与反双曲函数的导数 126

习题2-4(3) 127

第五节 高阶导数 128

习题2-5 131

第六节 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 132

一、隐函数的导数 132

二、由参数方程所确定的函数的导数 137

三、曲线的切线与切点和极点的连续间的夹角 142

习题2-6 143

第七节 函数的微分 145

一、微分的定义 145

二、微分的几何意义 148

三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 149

习题2-7 152

一、微分在近似计算中的应用 154

第八节 微分的应用 154

习题2-8(1) 156

二、微分在误差估计中的应用 158

习题2-8(2) 160

第三章 中值定理与导数的应用 162

第一节 中值定理 162

一、罗尔定理 162

二、拉格朗日中值定理 164

三、柯西中值定理 167

习题3-1 169

第二节 罗必塔法则 170

习题3-2 174

第三节 泰勒公式 175

第四节 函数单调性的判定法 180

习题3-3 180

习题3-4 184

第五节 函数的极值及其求法 185

习题3-5 191

第六节 最大值、最小值问题 192

习题3-6 196

第七节 曲线的凹凸与拐点 198

习题3-7 203

第八节 函数图形的描绘 204

习题3-8 209

第九节 曲率 210

一、弧微分 210

二、曲率及其计算公式 211

三、曲率圆与曲率半径 215

四、曲率中心的计算公式 渐屈线与渐伸线 217

习题3-9 220

第十节 方程的近似解 221

一、弦位法 222

二、切线法 224

三、综合法 227

习题3-10 229

第四章 不定积分 230

第一节 不定积分的概念与性质 230

一、原函数与不定积分的概念 230

二、基本积分表 234

三、不定积分的性质 236

习题4-1 240

第二节 换元积分法 241

一、第一类换元法 241

二、第二类换元法 249

习题4-2 256

第三节 分部积分法 258

习题4-3 262

第四节 几种特殊类型函数的积分举例 263

一、有理函数的积分举例 263

二、三角函数的有理式的积分举例 269

三、简单无理函数的积分举例 271

习题4-4 272

第五节 积分表的使用 274

习题4-5 278

第五章 定积分 279

第一节 定积分概念 279

一、定积分问题举例 279

二、定积分定义 283

习题5-1 287

第二节 定积分的性质 中值定理 288

习题5-2 291

第三节 微积分基本公式 292

一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 293

二、积分上限的函数及其导数 294

三、牛顿-莱布尼兹公式 296

习题5-3 298

第四节 定积分的换元法 300

习题5-4 305

第五节 定积分的分部积分法 306

习题5-5 309

第六节 定积分的近似计算 310

一、矫形法 310

二、梯形法 311

三、抛物线法 313

一、积分区间为无穷区间 318

习题5-6 318

第七节 广义积分 318

二、被积函数有无穷间断点 321

习题5-7 324

第六章 定积分的应用 325

第一节 定积分的元素法 325

第二节 平面图形的面积 327

一、直角坐标情形 327

二、极坐标情形 330

习题6-2 333

第三节 体积 334

一、旋转体的体积 334

二、平行截面面积为已知的立体的体积 337

习题6-3 339

一、直角坐标情形 340

第四节 平面曲线的弧长 340

二、参数方程情形 342

习题6-4 343

第五节 功 水压力 344

一、变力沿直线所作的功 344

二、水压力 347

习题6-5 348

第六节 平均值 349

一、函数的平均值 349

二、均方根 352

习题6-6 353

第七章 空间解析几何与向量代数 354

第一节 空间直角坐标系 354

一、空间点的直角坐标 354

二、空间两点间的距离 356

习题7-1 357

第二节 向量及其加减法 向量与数量的乘法 358

一、向量概念 358

二、向量的加减法 359

三、向量与数量的乘法 361

习题7-2 363

第三节 向量的坐标 364

一、向量在轴上的投影与投影定理 364

二、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标 366

三、向量的模与方向余弦的坐标表示式 370

习题7-3 372

第四节 数量积 向量积 混合积 372

一、两向量的数量积 372

二、两向量的向量积 377

三、向量的混合积 381

习题7-4 383

第五节 平面及其方程 384

一、平面的点法式方程 384

二、平面的一般方程 386

三、两平面的夹角 388

习题7-5 391

第六节 空间的直线及其方程 391

一、空间直线的一般方程 391

二、空间直线的对称式方程与参数方程 392

三、两直线的夹角 394

四、直线与平面的夹角 395

五、杂例 397

习题7-6 399

一、曲面方程的概念 400

第七节 曲面及其方程 400

二、旋转曲面 402

三、柱面 405

习题7-7 406

第八节 空间曲线及其方程 407

一、空间曲线的一般方程 407

二、空间曲线的参数方程 409

三、空间曲线在坐标面上的投影 411

习题7-8 412

第九节 二次曲面 413

一、椭球面 413

二、抛物面 415

三、双曲面 416

习题7-9 419

附表 积分表 420

习题答案 431