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第十九章 傅立叶级数 425

1. 导言 425

651. 周期量与调和分析 425

652. 欧勒-傅立叶确定系数法 428

653. 正交函数系 431

654. 三角插值法 435

2. 函数的傅立叶级数展开式 439

655. 问题的提出·第里希莱积分 439

656. 第一基本预备定理 441

657. 局部化定理 444

658. 狄尼与李泼西茨的傅立叶级数收敛性的判别法 445

659. 第二基本预备定理 448

660. 第里希莱-霞当判别法 450

661. 非周期函数的情形 452

662. 任意区间的情形 454

663. 只含余弦或正弦的展开式 455

664. 例 459

665. logΓ(x)的展开式 473

3. 补充 475

666. 系数递减的级数 475

667. 三角级数借助于复变数解析函数的求和法 482

668. 例 485

669. 傅立叶级数的复数形式 490

670. 共轭级数 493

671. 多重傅立叶级数 496

4. 傅立叶级数的收敛特性 499

672. 对于基本预备定理的几点补充 499

673. 傅立叶级数一致收敛性的判别法 502

674. 傅立叶级数在不连续点附近的性质；特殊情形 505

675. 任意函数的情形 510

676. 傅立叶级数的奇异性质·预先的说明 512

677. 奇异性质的作法 516

5. 与函数可微分性相关的余部估值 518

678. 函数与其导数的傅立叶系数间之关系 518

679. 在有界函数情形时部分和的估值 519

680. 函数有k级有界导数时余部的估值 521

681. 函数有有界变差的k级导数的情形 523

682. 函数及其导数的不连续性对于傅立叶系数的无穷小阶的影响 526

683. 在区间［0，π］上给出函数时的情形 530

684. 分离奇异性质法 532

6. 傅立叶积分 540

685. 傅立叶积分作为傅立叶级数的极限情形 540

686. 预先的说明 542

687. 充分判别法 544

688. 基本假设的变形 546

689. 傅立叶公式的各种形式 549

690. 傅立叶变换 551

691. 傅立叶变换的若干性质 554

692. 例题与补充 556

693. 二元函数的情形 562

7. 应用 564

694. 用行星的平近点角所作出的它的偏近点角的表示式 564

695. θ函数的函数方程 566

696. 弦振动的问题 567

697. 在有限长杆上的热傅导问题 571

698. 无穷长杆的情形 574

699. 极限条件的变形 576

700. 在圆盘上的热傅导 578

701. 实用调和分析·十二个纵坐标的方法 580

702. 例 582

703. 二十四个纵坐标的方法 585

704. 例 587

705. 傅立叶系数的近似值与精确值的比较 588

第二十章 傅立叶级数(续) 591

1. 傅立叶级数的运算·完全性与闭合性 591

706. 傅立叶级数的逐项积分法 591

707. 傅立叶级数的逐项微分法 594

708. 三角函数系的完全性 595

709. 函数的一致近似法·维尔史特拉斯定理 597

710. 函数的平均近似法·傅立叶级数的部分和的极端性质 600

711. 三角函数系的闭合性·李雅普诺夫定理 604

712. 广义闭合性方程 607

713. 傅立叶级数的乘法 610

714. 闭合性方程的若干应用 611

2. 发散级数的求和法 617

715. 导言 617

716. 幂级数法 619

717. 陶伯尔定理 621

718. 算术平均法 624

719. 普安松-亚培尔法与齐查罗法的相互关系 626

720. 哈第-蓝涛定理 628

721. 广义求和法在级数乘法上的应用 630

722. 一般的线性承袭求和法类 632

723. 基本预备定理 635

3. 求和法在傅立叶级数上的应用 635

724. 傅立叶级数的普安松-亚培尔求和法 637

725. 关于圆的第里希莱问题的解 641

726. 傅立叶级数的齐查罗-费叶尔求和法 643

727. 傅立叶级数广义求和法的若干应用 645

728. 傅立叶级数的逐项微分法 647

4. 函数的三角展开式的唯一性 649

729. 关于广义导数的辅助命题 649

730. 三角级数的黎曼求和法 653

731. 关于收敛级数的系数的预备定理 657

732. 三角展开式的唯一性 658

733. 关于傅立叶级数的最后的定理 660

734. 推广 663