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第一章 射影定理 2

1-1 Hilbert空间的定义 2

1-2 回顾连续线性与双线性算子 9

1-3 由稠密子集的连续线性与双线性算子的扩张 14

1-4 最优近似定理 17

1-5 直交射影 21

1-6 闭子空间，商空间与Hilbert空间的有限积 28

1-7 可列分Hilbert空间的直交基底 29

第二章 扩张与分隔的定理 36

2-1 连续线性与双线性算子的扩张 36

2-2 一稠密性判定 38

2-3 分隔定理 39

2-4 有限维空间的分隔定理 40

2-5 支撑函数 41

2-6 凸性最佳化的对偶定理 45

2-7 Von Neumann的大中取小定理 52

2-8 Pareto最佳化的特徵 60

第三章 对偶空间与转置算子 67

3-1 一Hilbert空间的对偶 67

3-2 一Hilbert空间对偶的认同 71

3-3 算子的转置 74

3-4 单射（嵌射）算子的转置 76

3-5 有限积及商空间的对偶，以及闭、稠密子空间、有限积空间的对偶 79

3-6 Lax-Milgram的定理 84

3-7 变分的不等式 86

3-8 n人二次对局的非协力平衡点 88

第四章 Banach定理与Banach-Steinhaus定理 94

4-1 算子的有界集合之性质 94

4-2 历遍平均定理 101

4-3 Banach定理 105

4-4 闭值域定理 110

4-5 左可逆算子的特徵 112

4-6 右可逆算子的特徵 115

4-7 在线性制限下的二次规划 121

第五章 Hilbert空间的构成 129

5-1 初始的内积 129

5-2 终了的内积 132

5-3 一轴（转）空间的正规子空间 133

5-4 算子族的闭族之极小与极大领域 135

5-5 无界算子与其伴随算子 140

5-6 含在一Hilbert空间内之前Hilbert空间的完备化 143

5-7 Hausdorff完备化 144

5-8 Hilbert空间的Hilbert和 146

5-9 内插空间 150

5-10 函数所成Hilbert空间的再生核 152

第六章 L2空间与褶积算子 159

6-1 二乘方可积函数空间L2(Ω) 159

6-2 权数空间L2(Ω,a) 162

6-3 空间Hs 164

6-4 ？0（Rn）函数与L1（Rn）函数的褶积 167

6-5 褶积算子 172

6-6 以褶积近似 174

6-7 例题·特徵函数的褶积幂 176

6-8 例题·多项式的褶积，Appell多项式 181

第七章 单变数函数的Sobolev空间 189

7-1 空间H0m（Ω）与其对偶空间H-m（Ω） 189

7-2 荷布的定义 190

7-3 荷布的微分 192

7-4 H0m（Ω）与H0m（R）之间的关系 197

7-5 Sobolev空间Hm（Ω） 200

7-6 Hm（Ω）与Hm（R）之间的关系 205

7-7 Hm（Ω）之对偶的特徵 209

7-8 纵迹定理 211

7-9 荷布的褶积 213

第八章 在函数空间的一些近似方法 218

8-1 直交多项式的近似法 218

8-2 Legendre,Laguerre，及Hermite多项式 221

8-3 Fourier级数 225

8-4 以阶梯函数的近似法 228

8-5 以片段多项式函数的近似 231

8-6 在Sobolev空间中之近似 237

第九章 多变数函数的Sobolev空间与Fourier变换 244

9-1 Sobolev空间H0m（Ω）,Hm（Ω）与H-m（Ω） 244

9-2 无限次可微与急速下降（遽降）函数的Fourier变换 247

9-3 Sobolev空间的Fourier变换 256

9-4 空间Hm（？）的纵迹定理 260

9-5 对於空间Hm（Ω）的纵迹定理 271

9-6 紧致定理 275

第十章 凸性分析基础 280

10-1 共轭函数 280

10-2 梯度 285

10-3 劣微分 289

10-4 对一极小化问题的极值条件 299

10-5 一极小化问题的Hamilton算子与Lagrange算子 305

第十一章 基础谱论 312

11-1 紧致算子 312

11-2 Riesz-Fredholm的理论 316

11-3 从一Hilbert空间到另一空间的紧致算子之特徵 320

11-4 Fredholm不变式 323

11-5 应用；中间空间的构成 326

11-6 应用；最优近似法 329

11-7 用一紧致算子摄动的同构映射 335

第十二章 Hilbert-Schmidt算子与张量积 343

12-1 Hilbert-Schmidt算子的Hilbert空间 343

12-2 基本的同构定理 352

12-3 Hilbert张量积 354

12-4 连续线性算子的张量积 360

12-5 以e2作Hilbert张量积 366

12-6 以L2作Hilbert张量积 367

12-7 以Sobolev空间Hm作张量积 370

第十三章 边界值问题 379

13-1 一算子的形式伴随与Green的公式 379

13-2 对双线性形的Green公式 391

13-3 抽象边界值问题的变分 398

13-4 边界值问题之例子 407

13-5 Neumann问题的近似解 415

13-6 形式伴随的限制与扩张 422

13-7 单面性边界值问题 427

13-8 变分学的介绍 431

13-9 最佳控制的简介 437

第十四章 微分算子的方程式与算子半群 445

14-1 算子的半群 445

14-2 半群之无限小生成元的圈定 453

14-3 微分—算子的方程式 459

14-4 抛物型方程式的边界值问题 464

14-5 系统理论：内向与外向的表现 466

第十五章 非线性分析简介 478

15-1 上半域连续对应 478

15-2 一对应之临界点的存在定理 481

15-3 关於一对应的固定点定理 489

15-4 正规锥与切锥的性质 492

15-5 变分性不等式 497

15-6 拟变分性不等式 500

15-7 在n个人对局的非协力平衡点 503

15-8 Walras不等式 505

15-9 关於对应的Perron-Frobenius定理 508

附录 选出的重要结果 513

第一节 一般性质 513

第二节 连续线性算子的性质 515

第三节 分隔定理与极性 517

第四节 Hilbert空间的构成 519

第五节 紧致算子 521

第六节 半群算子 523

第七节 Green的公式 524

第八节 凸性分析与最佳化 526

第九节 非线性分析 530

第十节 大中取小不等式 533

第十一节 Sobolev空间、褶积，及Fourier变换 534

练习题 539

第一章 539

第二章 545

第四章 546

第五章 547

第六章 548

第七章 549

第十章 550

第十一章 554

第十三章 558

第十四章 559

第十五章 562