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第一章 极限与连续 1

1.1 极限的概念与性质 1

1.1.1 极限的基本概念 1

1.1.2 极限的性质 4

1.1.3 数列与函数的某些特性的判断 8

1.2 函数的连续性 10

1.2.1 函数连续的概念 10

1.2.2 函数间断的概念 12

1.2.3 闭区间上连续函数的性质 15

1.3 极限存在的准则 16

1.4 极限的计算 22

1.4.1 基本型不定式极限的计算 22

1.4.2 幂指函数极限的计算 29

1.4.3 极限中参数的确定 32

1.4.4 利用导数的定义求极限 35

1.4.5 利用定积分的定义求极限 36

1.4.6 含有变限定积分的极限的计算 38

练习一 40

第二章 一元函数微分学 46

2.1 导数与微分的概念 46

2.1.1 导数的定义 46

2.1.2 导数的基本性质 47

2.1.3 分段函数的可导性 50

2.1.4 微分的定义 52

2.2 导数的计算与应用 53

2.2.1 若干基本类型函数的导数 53

2.2.2 高阶导数 58

2.2.3 函数的最大值与最小值 62

2.3 导数的若干证明 64

练习二 71

3.1.1 不定积分与定积分的概念与性质 77

第三章 一元函数积分学 77

3.1 一元函数积分的概念与性质 77

3.1.2 广义积分的概念与性质 80

3.2 变限定积分 83

3.2.1 变限定积分函数的概念与性质 83

3.2.2 变限定积分函数的连续性与可导性 86

3.2.3 变限定积分的导数与积分的计算 88

3.3 积分的计算 90

3.3.1 不定积分的计算 90

3.3.2 定积分的计算 97

3.3.3 分段函数的积分的计算 101

3.3.4 广义积分的计算 103

3.3.5 定积分的近似计算 105

3.4 定积分的若干证明 106

练习三 111

4.1 利用连续函数性质讨论方程的实根 116

第四章 方程实根的讨论 116

4.2 结合函数性态分析讨论方程的实根 119

4.3 利用微分中值定理讨论方程的实根 120

4.4 结合定积分的性质讨论方程的实根 132

练习四 136

第五章 无穷级数 141

5.1 无穷级数的基本概念 141

5.1.1 数项级数的基本概念 141

5.1.2 函数项级数的基本概念 148

5.2 无穷级数敛散性的判断 149

5.3 幂级数的收敛域及其和函数 161

5.3.1 幂级数收敛域的确定 161

5.3.2 幂级数和函数的求取 164

5.3.3 数项级数和的求取 170

练习五 172

6.1 函数 176

6.1.1 函数的概念 176

第六章 一元函数及其性态 176

6.1.2 函数构造 181

6.2 一元函数性态的分析 183

6.3 函数的泰勒公式与泰勒级数展开 189

6.3.1 函数的泰勒公式 189

6.3.2 函数的泰勒级数展开 191

6.4 函数的傅里叶级数展开 192

练习六 206

第七章 常微分方程 210

7.1 常微分方程的基本概念及其解的性质 210

7.1.1 常微分方程的基本概念 210

7.1.2 线性微分方程解的性质与解的结构理论 212

7.2.1 一阶线性微分方程 213

7.2 线性微分方程 213

7.2.2 常系数线性微分方程 219

7.2.3 变系数线性微分方程 221

7.2.4 一阶常系数线性微分方程组 225

7.2.5 线性微分方程的幂级数解法 228

7.3 非线性微分方程 230

7.3.1 利用变量代换求解微分方程 230

7.3.2 可降阶的非线性微分方程 235

7.4 微分方程的应用问题 237

练习七 239

第八章 多元函数微分学 245

8.1 多元函数的基本概念与性质 245

8.1.1 多元函数的概念与二元函数的泰勒公式 245

8.1.2 多元函数的极限与连续 246

8.1.3 多元函数的偏导数 248

8.1.4 全微分 252

8.2 偏导数与全微分的计算 257

8.3 多元函数的优化问题 268

练习八 271

第九章 重积分 276

9.1 重积分的概念与性质 276

9.2 重积分的计算 285

9.3 无界区域上的广义重积分的概念与计算 293

练习九 294

第十章 不等式的证明 298

10.1 利用基本不等式证明不等式 298

10.2 利用导数证明不等式 300

10.3 定积分不等式的证明 311

10.4 重积分不等式的证明 324

练习十 331

11.1 积分的几何应用 334

第十一章 积分的应用 334

11.2 积分的物理应用 344

练习十一 354

第十二章 矢量代数·解析几何·场论 356

12.1 矢量代数 356

12.2 空间解析几何 360

12.2.1 平面与直线 360

12.2.2 空间曲面及其方程 368

12.2.3 空间曲线及其方程 371

12.3 场论初步 374

练习十二 379

第十三章 曲面积分与曲线积分 382

13.1 第一类曲线积分与曲面积分 382

13.1.1 第一类曲线积分 382

13.1.2 第一类曲面积分 386

13.2 第二类曲面积分 389

13.2.1 第二类曲面积分的概念与性质 390

13.2.2 第二类曲面积分的计算 391

13.3 第二类曲线积分 401

13.3.1 第二类曲线积分的概念与性质 401

13.3.2 第二类曲线积分的计算 403

13.3.4 曲线积分的不等式 417

练习十三 417

第十四章 函数方程 422

练习十四 436

第十五章 经济学中的若干数学问题 439

15.1 微积分在经济学中的应用 439

15.1.1 极限在经济学中的应用 439

15.1.2 利用定积分求解经济应用问题 440

15.1.3 利用导数求解经济应用问题 443

15.1.4 利用最优化原则求解经济应用问题 446

15.2 差分方程及其在经济学中的应用 449

练习十五 452

第十六章 行列式 455

16.1 n阶行列式的定义 455

16.2 行列式的计算 457

16.2.1 可直接用定义求出的四类基本形 457

16.2.2 行列式的性质 458

16.2.3 三种计算行列式的方法 462

16.2.4 几类行列式 468

16.2.5 用拉普拉斯定理得到的四类行列式的基本形 471

练习十六 473

第十七章 矩阵 477

17.1 矩阵的概念和运算 477

17.1.1 矩阵的概念和特殊矩阵 477

17.1.2 矩阵的运算 479

17.2 矩阵的秩和等价 492

17.2.1 矩阵的秩 492

17.2.2 矩阵的等价 494

17.3 两种方法：矩阵的分块和等价标准形 496

练习十七 500

第十八章 线性方程组 503

18.1 解线性方程组的方法和理论 503

18.2 解含有参数的线性方程组 509

18.3 在解析几何中的应用 513

练习十八 518

第十九章 向量与向量空间 521

19.1 向量的概念和线性关系 521

19.1.1 向量的一些基本概念 521

19.1.2 向量的线性关系 521

19.1.3 向量线性关系的理论 524

19.2 向量空间的一些基本概念 527

19.2.1 向量空间及子空间 527

19.2.2 基，坐标及基变换、坐标变换 529

19.2.3 内积和标准正交基 532

19.3 用向量的观点来看矩阵和线性方程组 535

19.4 两组贯串前四章的典型题 538

练习十九 542

第二十章 矩阵的相似(特征值和特征向量) 545

20.1 矩阵的相似和对角化 545

20.2 相似的理论和应用 550

20.3 实对称矩阵的对角化 557

20.3.1 实对称矩阵 557

20.3.2 正交矩阵的性质 560

练习二十 561

21.1 二次型及标准形(矩阵的合同) 564

21.1.1 二次型的定义及其矩阵表示 564

第二十一章 二次型 564

21.1.2 二次型的标准形，规范形，矩阵的合同 565

21.2 正定二次型(正定矩阵) 571

21.3 矩阵的等价、相似、合同 576

21.3.1 定义、判别法和性质 576

21.3.2 应用 578

21.4 第三组题 579

练习二十一 581

第二十二章 概率论的基本概念 585

22.1 随机事件与概率 585

22.1.1 随机事件 585

22.1.2 概率 587

22.1.3 古典概率问题的计算 590

22.1.4 几何概率的计算 591

22.2.1 离散型随机变量 592

22.2 随机变量及其分布 592

22.2.2 随机变量的分布函数 597

22.2.3 连续型随机变量 598

练习二十二 604

第二十三章 条件概率与条件分布 610

23.1 条件概率及有关公式 610

23.1.1 条件概率 610

23.1.2 乘法公式 611

23.1.3 全概率公式 612

23.1.4 贝叶斯公式 613

23.2 条件分布 614

23.2.1 条件分布律 614

23.2.2 条件密度函数 616

练习二十三 617

24.1 随机变量的数字特征 620

24.1.1 随机变量的数学期望与方差 620

第二十四章 随机变量的进一步讨论 620

24.1.2 协方差与相关系数 624

24.1.3 矩 625

24.1.4 随机变量之间关系小结 626

24.2 随机变量函数的分布 628

24.2.1 离散型随机变量函数的分布 628

24.2.2 一维连续型随机变量函数的分布 629

24.2.3 二维连续型随机变量函数的分布 630

24.3 极限定理 633

练习二十四 635

第二十五章 数理统计初步 643

25.1 基本概念 643

25.2 参数估计 648

25.3 假设检验 656

练习二十五 661

数学一 模拟试卷(A卷) 669

附录 硕士研究生入学考试数学模拟测试 669

数学二 模拟试卷(A卷) 672

数学三 模拟试卷(A卷) 674

数学四 模拟试卷(A卷) 677

数学一 模拟试卷(B卷) 679

数学二 模拟试卷(B卷) 682

数学三 模拟试卷(B卷) 685

数学四 模拟试卷(B卷) 687

数学一 模拟试卷(A卷)参考解答 690

数学二 模拟试卷(A卷)参考解答 695

数学三 模拟试卷(A卷)参考解答 698

数学四 模拟试卷(A卷)参考解答 702

数学一 模拟试卷(B卷)参考解答 706

数学二 模拟试卷(B卷)参考解答 712

数学三 模拟试卷(B卷)参考解答 717

数学四 模拟试卷(B卷)参考解答 720