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第一章 基本概念 1

1. 微分方程及其解的定义 1

2. 微分方程及其解的几何解释 11

第二章 初等积分法 18

1. 恰当方程 18

2. 变量分离的方程 24

3. 一阶线性方程 30

4. 初等变换法 37

4.1 齐次方程 37

4.3 黎卡提方程 40

4.2 伯努里方程 40

5. 积分因子法 44

6. 应用举例 50

第三章 存在和唯一性定理 60

1. 毕卡存在和唯一性定理 60

2. 皮亚诺存在定理 67

2.1 欧拉折线 67

2.2 Ascoli引理 70

2.3 皮亚诺存在定理 71

3. 解的延伸 76

4. 比较定理及其应用 84

1.1 微分法 94

第四章 奇解 94

1. 一阶隐式微分方程 94

1.2 参数法 98

2. 奇解 101

3. 包络 105

4. 奇解的存在定理 110

第五章 高阶微分方程 114

1. 几个例子 114

2. n维线性空间的微分方程 129

3. 解对初值和参数的连续依赖性 134

4. 解对初值和参数的连续可微性 140

1. 一般理论 149

第六章 线性微分方程组 149

1.1 齐次线性微分方程组 150

1.2 非齐次线性微分方程组 156

2. 常系数线性微分方程组 161

2.1 矩阵指数函数的定义和性质 162

2.2 常系数齐次线性微分方程组的基解矩阵 164

2.3 利用约当标准型求基解矩阵 166

2.4 待定指数函数法 169

3. 高阶线性微分方程 182

3.1 高阶线性微分方程的一般理论 183

3.2 常系数高阶线性微分方程 187

4. 算子法和拉氏变换法简介 196

4.1 算子法 196

4.2 拉氏变换法 205

第七章 微分方程的幂级数解法 217

1. 柯西定理 217

2. 幂级数解法 224

3. 勒让德多项式 229

4. 广义幂级数解法 233

5. 贝塞尔函数 243

1. 动力系统，相空间与轨线 250

第八章 定性理论与分支理论初步 250

2. 解的稳定性 257

2.1 李雅普诺夫稳定性的概念 257

2.2 按线性近似判断稳定性 259

2.3 李雅普诺夫第二方法 263

3.平面上的动力系统，奇点与极限环 271

3.1 初等奇点 272

3.2 极限环 284

3.3 Liénard作图法 285

3.4 Poinearè映射与后继函数法 288

4.结构稳定与分支现象 290

4.1 一个结构稳定性定理 290

4.2 高阶奇点的分支 292

4.3 Hopf分支 293

4.4 Poinearè分支 294

4.5 多重闭轨的分支 295

4.6 同宿轨线的分支 296

4.7 奇异量场的普适开折 299

第九章 边值问题 304

1. 斯托姆比较定理 304

2. S-L边值问题的特征值 311

3. 特征函数系的正交性 318

4.一个非线性边值问题的例子 325

5.周期边值问题 330

第十章 首次积分 334

1.首次积分的定义 334

2.首次积分的性质 340

3.首次积分的存在性 345

4.大范围的首次积分 348

第十一章 一阶偏微分方程 353

1.一阶齐次线性偏微分方程 353

2.一阶拟线性偏微分方程 357

3.几何解释 362

参考文献 368

习题答案与提示 370