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第一章 引论 1

1 现代数值分析的对象与特点 1

1-1数学问题与科学计算 1

1-2数值问题与算法 2

1-3本书的内容与特点 3

2 误差分析与数值稳定性 4

2-1误差与误差分类 4

2-2误差分析方法 5

2-3病态问题与条件数 6

2-4算法的数值稳定性 8

习题 10

第二章 数值逼近 12

1函数逼近基本概念 12

1-1函数逼近与函数空间 12

1-2范数与赋范空间 14

1-3函数逼近的基本问题 15

2 插值法 16

2-1插值问题与插值多项式 16

2-2插值函数的收敛性与稳定性 20

2-3样条插值函数 22

2-4B-样条函数 26

3内积空间与正交多项式 29

3-1内积与内积空间 29

3-2正交多项式及其性质 31

3-3勒让德多项式 34

3-4切比雪夫多项式 36

3-5其他正交多项式 38

4函数的最佳平方逼近 39

4-1最佳平方逼近问题及其解法 39

4-2用正交函数族做平方逼近 42

4-3曲线拟合的最小二乘法 44

5周期函数逼近与快速富利叶变换 48

5-1周期函数的最佳平方逼近 48

5-2快速富利叶变换（FFT） 51

6最佳一致逼近 54

6-1最佳一致逼近多项式 54

6-2零偏差最小多项式及其应用 58

6-3函数按切比雪夫多项式展开 63

7有理逼近 65

7-1有理逼近与连分式 65

7-2有理插值 67

7-3帕德（Padé）逼近 71

习题 78

第三章 数值积分 83

1数值积分概述 83

1-1求积公式与代数精确度 83

1-1求积公式的误差估计 86

1-3求积公式的收敛性与稳定性 88

2高斯型求积方法 89

2-1一般理论 89

2-2高斯-勒让德求积公式 93

2-3高斯-切比雪夫求积公式 94

2-4固定部分节点的高斯型求积公式 95

3自适应求积方法 97

4奇异积分与振荡函数积分计算 101

4-1反常积分的计算 101

4-2无穷区间积分 105

4-3振荡函数积分 106

5二重积分计算方法 110

5-1基本方法 110

5-2复合求积公式 111

5-3高斯求积公式 112

6积分方程数值解法 113

习题 115

第四章 解线性方程组的直接法 118

1引言 118

2初等矩阵及性质 118

2-1初等下三角阵（高斯变换） 119

2-2初等置换阵 121

2-3初等反射阵（豪斯荷尔德变换） 122

2-4平面旋转阵（吉文斯变换） 126

3高斯消去法与矩阵三角分解 129

3-1高斯消去法 129

3-2矩阵的三角分解 133

4用直接三角分解法解线性方程组 137

4-1不选主元三角分解法 138

4-2部分选主元三角分解法 141

4-3乔莱斯基分解法（平方根法） 145

4-4改进的平方根法 147

5用直接法解大型带状方程组 151

5-1用分解法解大型等带宽方程组 151

5-2用列主元消去法解带状方程组 159

5-3用改进平方根法解大型变带宽对称正定方程组及存储方法 162

6向量和矩阵范数 169

7矩阵的条件数与病态方程组 178

7-1矩阵的条件数 178

7-2关于病态方程组的解法 184

8矩阵的正交分解及应用 190

8-1矩阵的QR分解 190

8-2矩阵的奇异值分解 198

8-3应用 201

习题 207

第五章 解大型稀疏线性方程组的迭代法 210

1引言 210

2迭代法的构造 211

2-1雅可比（Tacobi）迭代法 212

2-2高斯-塞德尔（G-S）迭代法 212

2-3解大型稀疏线性方程组的逐次超松弛迭代法（SOR） 214

2-4CF 对称的SOR迭代法（SSOR方法） 217

3迭代法的收敛性 219

3-1一阶定常迭代法的基本定理 219

3-2关于解特殊方程组迭代法的收敛性 222

3-3迭代法收敛速度 228

3-4分块迭代法 230

4梯度法 235

4-1等价性定理 235

4-2最速下降法 238

4-3共轭梯度法（cg） 240

4-4预条件共轭梯度法（pcg） 246

习题 249

第六章 非线性方程组解法与最优化方法 252

1引言 252

1-1非线性方程组求解问题 252

1-2向量值函数的导数及其性质 253

2压缩映射与不动点迭代法 256

2-1压缩映射与不动点定理 256

2-2迭代法及其收敛性 258

3牛顿法与牛顿型迭代法 260

3-1牛顿法及其收敛性 260

3-2牛顿法的变形 263

3-3牛顿松弛型迭代法 265

3-4离散牛顿法 268

4拟牛顿法 268

4-1拟牛顿法基本思想 268

4-2秩1拟牛顿法 269

5延拓法 272

6无约束最优化方法 276

6-1基本概念 276

6-2最速下降法 278

6-3一维搜索算法 281

6-4牛顿下降法 282

6-5变尺度法 283

7非线性最小二乘问题数值方法 285

习题 288

第七章 矩阵特征值与特征向量计算方法 292

1引言 292

2幂法及反幂法 297

2-1幂法 297

2-2加速方法 303

2-3反幂法（或逆迭代） 307

3计算对称矩阵特征值的雅可比方法 311

3-1引言 311

3-2古典雅可比方法 313

3-3雅可比过关法 318

4豪斯荷尔德方法 320

5 QR算法 328

5-1引言 328

5-2 QR算法及收敛性 328

5-3带原点位移的QR方法 333

5-4用单步QR方法计算上赫森伯格阵特征值 335

5-5双步QR方法 339

习题 346

第八章 刚性常微分方程数值解法 348

1初值问题数值方法 348

1-1数值方法概述 348

1-2数值方法的局部截断误差与收敛性 351

1-3绝对稳定性与绝对稳定域 355

2刚性微分方程 360

3解刚性方程数值方法的稳定性概念 364

4解刚性方程的线性多步法 366

4-1吉尔方法及其改进 366

4-2含二阶导数的线性多步法 368

4-3隐性问题与迭代法 369

5隐式龙格-库塔法 371

5-1龙格-库塔法的一般结构 371

5-2基于数值求积公式的隐式RK方法 373

5-3稳定性函数与隐式RK方法的A-稳定性 378

5-4对角隐式RK方法 380

6非线性方法 381

习题 383

第九章 同步并行算法 386

1引言 386

1-1为什么要研究并行算法 386

1-2什么是并行算法 387

1-3怎样设计并行算法 387

2二分法的设计模式 388

2-1最简单的计算模型 388

2-2算法复杂性的概念 390

2-3二分法的效能分析 391

3多项式求值 392

4解线性递推问题 395

4-1问题的提出 395

4-2二分法的设计思想 396

4-3奇偶二分法 397

4-4奇偶二分法的矩阵表示 399

4-5约简二分法 403

4-6二分法的效能分析 406

4-7算式分段技术 407

4-8关于非线性递推的一点注记 408

5解线性方程组 409

5-1三角方程组的奇偶二分法 410

5-2二分法的矩阵表示 412

5-3三角阵求逆的二分法 415

5-4三对角方程组的二分法 418

5-5稠密方程组的高斯消去法 423

参考书目 426