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1微商 1

1．1大学数学研究什么？ 1

1．1．1大学数学与中学数学研究对象的比较 1

1．1．2大学数学的主要内容 1

1．2预备知识 3

1．2．1逻辑符号 3

1．2．2领域 3

1．2．3不等式 3

1．2．4单调数列 4

1．3函数 6

1．3．1函数概念 6

1．3．2函数的运算 8

1．3．3函数的改变量 9

1．3．4复合运算·复合函数 10

1．3．5函数模型 11

习题1-3 15

1．4函数的极限 17

1．4．1 x→x0时函数f（x）的极限 17

1．4．2函数极限的运算与性质 21

1．4．3第一个重要极限 24

习题1-4 25

1．5函数的连续性 27

1．5．1连续与间断的直观描述 27

1．5．2连续与间断的定义 28

1．5．3初等函数的连续性 32

1．5．4闭区间上连续函数的性质 34

习题1-5 35

1．6函数在无穷远处的极限 37

1．6．1 x→∞时函数的极限及水平渐近线 37

1．6．2第二个重要极限 40

习题1-6 43

1．7无穷小量及其比较 44

1．7．1无穷小量 44

1．7．2无穷小量的比较 46

1．7．3记号o与O 48

习题1-7 49

1．8微商 50

1．8．1微积分的典型问题之一——切线问题 50

1．8．2微商概念 52

1．8．3可微性与连续性 59

1．8．4数学怪物——科赫（Koch V）雪花曲线·分形几何学简介 60

习题1-8 61

第1章的重要概念与公式 63

总练习题1 64

2微分法 67

2．1微商的运算法则 67

2．1．1基本微商公式 67

2．1．2函数的和、差、积、商的微商法则 68

2．1．3反函数微商法则 71

2．1．4复合函数微商法则 72

2．1．5隐函数微分法 74

习题2-1 76

2．2．1高阶微商 78

2．2高阶微商 78

2．2．2关于函数乘积微商的莱布尼茨公式 81

习题2-2 82

2．3微分及其应用 83

2．3．1微分及其运算 83

2．3．2微分的应用 87

习题2-3 93

第2章的重要概念与公式 94

总练习题2 95

3微商的应用 98

3．1微分中值定理 98

3．1．1微分中值定理 98

3．1．2微分中值定理的证明 102

习题3-1 103

3．2用微商研究函数 104

3．2．1函数的增减性 104

3．2．2极值 106

3．2．3曲线的凹凸性与拐点 110

3．2．4函数作图 112

习题3-2 114

3．3最优化问题 116

3．3．1最大值、最小值 116

3．3．2最优化问题 117

习题3-3 121

3．4弹性与相关变化率 122

3．4．1需求弹性 122

3．4．2相关变化率 125

习题3-4 127

3．5洛必达（L Hospital）法则 128

3．5．1洛必达法则 128

3．5．2洛必达法则的证明 131

3．5．3其他类型不定式的极限 132

习题3-5 134

第3章的重要概念与公式 135

总练习题3 136

4积分及其应用 139

4．1定积分 139

4．1．1微积分的典型问题之二——面积问题 139

4．1．2定积分概念 141

习题4-1 142

4．1．3可积的充分条件 142

4．2定积分与原函数的关系 143

4．2．1直观背景 143

4．2．2原函数与不定积分 144

4．2．3微积分基本定理 148

习题4-2 151

4．3定积分的性质 152

习题4-3 155

4．4积分法 156

4．4．1直接积分法 156

4．4．2换元积分法 158

4．4．3分部积分法 171

4．4．5数值积分法 176

4．4．4积分表的使用 176

习题4-4 180

4．5定积分的应用 183

4．5．1广义积分 183

4．5．2面积、体积、弧长的计算 187

4．5．3定积分与概率密度 195

4．5．4定积分在经济管理与社会科学中的应用 198

习题4-5 200

第4章的重要概念与公式 202

总练习题4 203

5．1微分方程基础 208

5．1．1实际背景 208

5微分方程与差分方程 208

5．1．2基本概念 211

习题5-1 213

5．2一阶微分方程 213

5．2．1可分离变量的微分方程 213

5．2．2齐次（微分）方程 215

5．2．3一阶线性微分方程 217

5．2．4微分方程的应用（连续模型） 222

习题5-2 225

5．3二阶微分方程 227

5．3．1可降阶的二阶方程 227

5．3．2二阶常系数线性微分方程 228

5．3．3微分方程组 234

5．4差分方程 238

习题5-3 238

5．4．1差分方程基础 239

5．4．2一阶常系数线性差分方程 241

5．4．3二阶常系数线性差分方程 243

5．4．4差分方程的应用（离散模型） 245

习题5-4 252

第5章的重要概念与公式 253

总练习题5 254

6多元函数微分学 257

6．1空间曲面与曲线 257

6．1．1空间直角坐标系 257

6．1．2曲面 259

6．1．3空间曲线 262

习题6-1 264

6．2多元函数 264

6．2．1多元函数概念 264

6．2．2等高线·等产量线 266

6．2．3二元函数的极限与连续 266

习题6-2 267

6．3偏微商 268

6．3．1偏微商与全微分 268

6．3．2偏微商的应用 271

6．3．3高阶偏微商 273

习题6-3 275

6．4复合函数微分法 276

6．4．1复合函数微分法 276

6．4．2隐函数微分法 279

习题6-4 281

6．5最优化问题 282

6．5．1二元函数的极值 282

6．5．2无约束最优化问题 284

6．5．3约束最优化问题 286

6．5．4最小二乘法与数学建模 290

6．5．5线性规划 296

习题6-5 298

第6章的重要概念与公式 300

总练习题6 301

7．1二重积分概念 303

7．1．1实际背景 303

7二重积分 303

7．1．2二重积分定义 304

7．1．3二重积分的性质 305

习题7-1 307

7．2二重积分的计算 307

7．2．1在直角坐标下计算二重积分 307

7．2．2在极坐标下计算二重积分 312

习题7-2 314

7．3二重积分的应用 315

7．3．1用二重积分计算概率积分？ 315

7．3．2用二重积分计算体积与面积 316

7．3．3二重积分在社会科学中的应用 319

习题7-3 320

总练习题7 321

第7章的重要概念与公式 321

8无穷级数 323

8．1数项级数 323

8．1．1基本概念 323

8．1．2基本性质·收敛级数的必要条件 328

8．1．3正项级数的收敛检验法 329

8．1．4交错级数·莱布尼茨判别法 334

8．1．5绝对收敛·条件收敛 336

习题8-1 337

8．2幂级数 339

8．2．1幂级数概念与性质 339

8．2．2幂级数的收敛半径 340

8．2．3幂级数的运算 342

习题8-2 344

8．3泰勒（Taylor）级数 345

8．3．1问题的提出 345

8．3．2泰勒公式 348

8．3．3函数的泰勒展开式 349

8．3．4泰勒级数的应用 352

习题8-3 356

第8章的重要概念与公式 357

总练习题8 358

附录1积分表 361

附录2习题答案 369

附录3名词术语索引 392

参考文献 398