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第一章 函数 1

§1 函数概念的复习与补充 1

1．1 函数概念 1

1．2 区间的表示法与函数的定义域 4

1．3 函数符号与函数的特定值 8

§2 函数关系的建立 14

2．1 根据几何、代数与三角公式建立函数关系 14

2．2 根据物理化学规律建立函数关系 17

2．3 根据实验数据建立函数关系（经验公式） 19

§3 初等函数 21

3．1 基本初等函数 21

3．2 初等函数 27

3．3 函数图形的绘制 30

§4 函数研究的初步问题 36

4．1 函数的增减性 37

4．2 函数的平均变化率 40

第二章 极限与连续 45

§1 极限概念 45

1．1 问题的提出——极限的简略定义 45

1．2 数列的极限 52

1．3 函数的极限 54

§2 极限的运算法则、两个重要极限 57

2．1 极限的运算法则 57

2．2 两个重要极限 63

§3 关于无穷小量与无穷大量 67

3．1 无穷小量和无穷大量 67

3．2 函数极限与无穷小量的关系 70

3．3 无穷小量的阶 71

§4 函数的连续性 74

4．1 函数连续性的概念与间断点 74

4．2 初等函数的连续性 77

4．3 闭区间上连续函数的性质 78

第三章 导函数 80

§1 导函数概念 80

1．1 两个变化率问题 80

1．2 导数定义 84

1．3 导数的几何意义 89

1．4 变化率概念在几何与物理中的一些应用 93

§2 导数的计算方法 98

2．1 基本初等函数的导数公式 98

2．2 函数四则运算的导数公式 103

2．3 复合函数的导数公式 110

2．4 参数方程求导方法 118

§3 加速度问题、高阶导数 122

3．1 加速度问题 122

3．2 高阶导数 124

4．1 极值和最大值小最问题 127

§4 导数应用 127

4．2 函数作图 143

第四章 微分 152

§1 微分概念 152

1．1 问题的提出 152

1．2 微分的概念 154

1．3 微分的几何解释 157

§2 微分的计算 159

§3 微分在近似计算中的应用 165

3．1 函数值的近似计算 165

3．2 估计误差 169

§4 列写微分式举例 172

4．1 曲线弧长的微分 173

4．2 曲边梯形面积的微分 174

4．3 变力做功的微分 175

§5 曲率与曲率半径 178

5．1 曲线的曲率 178

5．2 曲率圆与曲率半径 182

第五章 不定积分 185

§1 原函数与不定积分的概念 185

1．1 问题的提出 185

1．2 原函数的概念 186

1．3 不定积分的概念 188

2．1 基本积分表 192

§2 基本积分表和求不定积分的简单法则 192

2．2 不定积分简单运算法则 194

§3 积分法 198

3．1 凑微分法 198

3．2 综合例子 204

§4 变量置换法与分部积分法 210

4．1 变量置换法 210

4．2 分部积分法 213

§5 不定积分的应用 218

附 简单积分表及其用法 221

1．1 曲边梯形的面积 225

§1 定积分的概念 225

第六章 定积分 225

1．2 变速运动的路程 232

1．3 定积分的定义 233

1．4 定积分的几何意义及简单性质 235

§2 牛顿-莱布尼兹公式 243

2．1 定积分作为上限的函数 244

2．2 I（t）=？f（x）dx与f（x）的关系 245

2．3 牛顿-莱布尼兹公式 246

2．4 定积分作为微分的无限积累 248

3．1 定积的性质（续） 250

§3 定积分的计算方法 250

3．2 变量置换法 254

3．3 分部积分法 256

§4 近似积分法 261

4．1 矩形法 262

4．2 梯形法 263

4．3 抛物线法（辛普生法） 264

§5 积定分的应用 271

5．1 平面图形的面积 271

5．2 旋转体的体积 274

5．3 平面曲线的弧长 278

5．4 变力作功问题 279

5．5 力矩的计算 280

第七章 微分方程 285

§1 微分方程的基本概念 285

1．1 问题的引出 285

1．2 微分方程的基本概念 289

§2 常见一阶微分方程的解法 292

2．1 最简单的一阶微分方程的解法 292

2．2 可分离变量的微分方程的解法 293

2．3 一阶线性微分方程的解法 297

§3 一阶微分方程的应用举例 306

§4 特殊型二阶微分方程 314

4．1 y″=f（x）型 315

4．2 y″=f（x，y′）型 316

4．3 y″=f（y，y′）型 317

§5 二阶线性常系数微分方程 320

5．1 方程的引出——弹簧振动问题 320

5．2 二阶线性常系数齐次微分方程的解法 323

5．3 二阶线性常系数非齐次方程的解法 330

§6 二阶线性常系数微分方程的应用举例 337

§7 微分方程组 346

7．1 例题与概念 346

7．2 线性常系数微分方程组的解法 348

第八章 幂级数 352

§1 问题的提出 352

§2 数项级数及其收敛性 355

2．1 等差级数与等比级数 355

2．2 数项级数的收敛性 359

2．3 无穷等比级数与P级数 366

2．4 判定级数收敛的达朗贝尔准则 370

§3 幂级数的收敛问题 375

§4 把函数展开为幂级数（台劳级数） 381

§5 幂级数在近似计算中的应用 391

5．1 求函数的近似值 391

5．3 微分方程的幂级数解法 394

5．2 计算积分的近似值 394

5．4 欧拉公式 396

第九章 三角级数 399

§1 问题的提出和分析 399

1．1 问题的提出 399

1．2 问题的简单分析 400

§2 非正弦周期函数的三角级数展开式 405

§3 几种常见波形的三角级数展开式 411

附 三角级数的复数形式 428

第十章 空间解析几何 432

§1 空间直角坐标系 432

1．2 任意两点间的距离 433

1．1 空间任意一点的坐标 433

§2 空间向量 435

2．1 向量的基本概念 435

2．2 向量的加减运算 436

2．3 向量的乘积 438

2．4 向量的坐标表示 440

2．5 向量用坐标表示时的运算 442

§3 曲面与方程 448

3．1 曲面与方程 448

3．2 平面方程的建立 449

3．3 空间曲线方程 452

3．4 一些常见的曲面方程 457

第十一章 多元函数微分学 464

§1 多元函数 464

§2 二元函数的偏导数 468

2．1 偏导数 468

2．2 高阶偏导数 470

2．3 二元函数偏导数的几何意义 472

2．4 切平面方程 474

§3 全微分 476

3．1 全微分概念 476

3．2 二元函数全微分的几何意义 479

3．3 全微分在估计误差中的应用 480

§4 复合函数的偏导数 481

§5 多元函数的极值 487

5．1 二元函数的极值问题 487

5．2 最小二乘法与经验公式 493

第十二章 二重积分 497

§1 二重积分的概念 497

1．1 问题的提出——求曲顶柱体的体积 497

1．2 二重积分的定义及性质 499

§2 二重积分的计算方法 500

2．1 二重积分在直角坐标系中的计算方法 500

2．2 二重积分在极坐标系中的计算方法 508

§3 二重积分的应用 513