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目录 1

第一章 函数、极限、连续 1

§1 函数 1

1-1 函数概念 1

1-2 函数的改变量与线性函数的基本性质 9

1-3 反函数与复合函数 13

1-4 基本初等函数与初等函数 17

1-5 双曲函数与反双曲函数 19

1-6 函数应用举例 22

§2 数列的极限 26

2-1 数列极限的概念 26

2-2 数列收敛的条件 30

2-3 数列极限的有理运算 37

§3 函数的极限 41

3-1 自变量无限趋大时的函数极限 41

3-2 自变量趋向有限值时的函数极限 44

3-3 函数极限的运算法则与两个重要的极限 51

4-1 无穷大量 60

§4 无穷大量与无穷小量 60

4-2 无穷小量 62

4-3 无穷小量的比较 65

§5 连续函数 69

5-1 函数的连续性 69

5-2 连续函数的运算与初等函数的连续性 72

5-3 间断点 76

5-4 闭区间上连续函数的性质 80

第一章习题 84

附录一 充分条件与必要条件 92

附录二 基本初等函数的图形及其简单性质 94

第二章 导数与微分 99

§1 导数概念 99

1-1 导数的定义 99

1-2 几个基本初等函数的导数公式 104

1-3 导数的几何意义 108

1-4 函数的可导性与连续性的关系 113

1-5 导数的物理意义 115

1-6 二阶导数与高阶导数 120

§2 导数的运算 122

2-1 函数的和、差、积、商的导数 122

2-2 复合函数的导数 127

2-3 反函数的导数 134

2-4 隐函数及其求导法 137

2-5 初等函数的求导问题 142

2-6 导数在物理、力学中的应用举例 144

3-1 参数方程的求导问题 151

§3 参数方程和极坐标方程的求导问题 151

3-2 极坐标方程的求导问题 155

3-3 极坐标方程在机械工程中的应用举例 157

§4 微分 161

4-1 微分概念 161

4-2 微分的几何意义 164

4-3 微分的运算 166

4-4 微分在近似计算中的应用 168

第二章习题 173

附录 绝对误差、相对误差与有效数字 178

第三章 导数的应用 182

§1 微分学中值定理 182

1-1 罗尔定理 182

1-2 拉格朗日定理 185

1-3 柯西定理与罗彼塔法则 189

§2 泰勒定理 198

2-1 用多项式近似表示函数 198

2-2 泰勒定理 201

2-3 一些基本初等函数的泰勒公式 205

3-1 不定积分 206

2-4 小o的运算 209

§3 函数性态的研究 212

3-1 函数增减的判定 212

3-2 函数的极值 214

3-3 最大值、最小值问题 221

3-4 函数图形凹向的判定、拐点 228

3-5 函数作图问题 234

3-6 用牛顿切线法求函数方程的近似解 239

§4 平面曲线的曲率 245

4-1 弧微分 246

4-2 曲率的定义与计算 249

4-3 曲率半径与曲率中心 255

第三章习题 259

第四章 定积分与不定积分 266

§1 定积分的概念与性质 266

1-1 几个有关定积分的问题 266

1-2 定积分的定义及存在定理 271

1-3 定积分的几何意义 276

1-4 定积分的性质 积分中值定理 278

§2 积分与导数、微分的关系 285

2-1 积分与导数的关系——微积分学基本定理 285

2-2 积分与微分的关系 294

§3 不定积分与积分法 296

3-2 换元积分法（Ⅰ） 301

3-3 换元积分法（Ⅱ） 309

3-4 分部积分法 316

§4 两类积得出的积分 323

4-1 有理函数的积分 324

4-2 三角函数的有理式的积分 331

§5 近似积分法 334

§6 两种广义积分 342

6-1 无穷区间的广义积分 342

6-2 无界函数的广义积分 346

6-3 无穷积分的收敛判别法 350

6-4 无界函数积分的收敛判别法 355

第四章习题 360

附录 将真分式化为部分分式 366

第五章 定积分的应用 373

§1 建立积分式的方法 373

§2 定积分在几何上的应用 376

2-1 平面图形的面积 376

2-2 体积 381

2-3 平面曲线的弧长 385

3-1 液体压力 390

§3 定积分在物理上的应用 390

3-2 功 394

3-3 电场作用力 399

3-4 平均值 402

第五章习题 406

§1 无穷级数 409

1-1 无穷级数的概念及收敛原理 409

第六章 常数项级数 409

1-2 级数的主要性质 414

§2 正项级数的收敛问题 417

2-1 基本定理 418

2-2 正项级数的审敛准则 419

§3 任意项级数的收敛问题 426

3-1 交错级数与它的审敛准则 426

3-2 绝对收敛与条件收敛 429

＊3-3 绝对收敛级数的性质 432

第六章习题 437

第七章 幂级数 439

§1 函数项级数概念 439

§2 幂级数和它的性质 441

2-1 幂级数及其收敛半径 441

2-2 幂级数的运算及其性质 446

＊§3 函数项级数的一致收敛性 450

3-1 一致收敛概念 450

3-2 一致收敛判别法 453

3-3 一致收敛级数的性质 455

§4 函数的幂级数展开 459

4-1 泰勒级数 459

4-2 几个初等函数的泰勒展开式 462

§5 幂级数的应用举例 467

第七章习题 471

上册综合题 475

附录 482

答案 495