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第一部分 预备知识 3

第一章 背景材料 3

1．1 非线性问题的产生 3

1．1A 微分几何提出的问题 3

1．1B 数学物理提出的问题 10

Ⅰ 经典数学物理 10

Ⅱ 现代数学物理 14

1．1C 变分学提出的问题 17

1．2 遇到的典型困难 18

1．2A 内在的困难 19

1．2B 非内在的困难 22

1．3 泛函分析的结论 26

1．3A Banach空间和Hilbert空间 26

1．3B 一些常用的Banach空间 28

1．3C 有界线性泛函与函收敛 32

1．3D 紧性 33

1．3E 有界线性算子 35

1．3F 某些特殊类型的有界线性算子 38

1．4 不等式和估计 43

1．4A 空间W1，p（Q）（1≤p＜∞） 44

1．4B 空间Wm，p（RN）和Wm,p（Q） 48

1．4C 线性椭圆型微分算子的估计 49

1．5 微分方程组的古典解和广义解 51

1．5A Wm,p中的弱解 52

1．5B 半线性椭圆型方程组弱解的正则性 53

1．6 有限维空间间的映射 56

1．6A Euclid空间间的映射 56

1．6B 同伦不变性 59

1．6C 同调和上同调不变量 62

注记 65

第二章 非线性算子 70

2．1 微积分初步 70

2．1A 有界性和连续性 70

2．1B 积分 71

2．1D 多重线性算子 74

2．1C 微分 76

2．1E 高阶导数 77

2．2 具体的非线性算子 84

2．2A 复合算子 84

2．2B 微分算子 86

2．2C 积分算子 88

2．2D 微分算子的表达式 89

2．3 解析算子 93

2．3A 等价定义 93

2．3B 基本性质 98

2．4A 等价定义 99

2．4 紧算子 99

2．4B 基本性质 101

2．4C 紧微分算子 103

2．5 梯度映射 105

2．5A 等价定义 105

2．5B 基本性质 107

2．5C 特殊的梯度映射 109

2．6 非线性Fredholm算子 111

2．6A 等价定义 111

2．6B 基本性质 113

2．6C Fredholm微分算子 113

2．7A 等价定义 114

2．7 正常映射 114

2．7B 基本性质 116

2．7C 作为正常映射的微分算子 118

注记 120

第二部分 局部分析 125

第三章 单个映射的局部分析 125

3．1 逐次逼近法 125

3．1A 压缩映射原理 125

3．2B 反函数定理和隐函数定理 127

3．1C Newton法 131

3．1D 局部满射性的判别法 134

3．1E 对常微分方程的应用 135

3．1F 对等周问题的应用 139

3．1G 对映射奇异性的应用 143

3．2 梯度映射的最速下降法 146

3．2A 对局部极小的连续下降法 147

3．2B 等周变分问题的最速下降法 148

3．2C 一般临界点的结果 150

3．2D 一般光滑映射的最速下降法 153

3．3 解析算子和强级数法 154

3．3A 一些启发 154

3．3B 一个解析隐函数定理 155

3．3C 复解析Fredholm算子的局部性质 157

3．4A 一些启发 158

3．4 广义反函数定理 158

3．4B J.Moser的一个结果 160

3．4C 光滑算子 163

3．4D 局部共轭问题的反函数定理 165

注记 168

第四章 参数相依扰动现象 174

4．1 分歧理论——一个构造性方法 174

4．1A 定义和基本问题 175

4．1B 化成有限维问题 179

4．1C 单重的情形 181

4．1D 一个收敛的叠代格式 185

4．1E 多重的情形 189

4．2A 一些启发 192

4．2 分歧理论中的超越方法 192

4．2B 分歧理论中的Brouwer度 193

4．2C 临界点理论初步 197

4．2D 分歧理论中的Morse型数 201

4．3 具体的分歧现象 204

4．3A 约束三体问题中平衡位置附近的周期运动 204

4．3B 非线性弹性中的屈曲现象 208

4．3C Navier-Stokes方程的第二稳态流 216

4．3D 紧复流形上复结构的分歧问题 222

4．4B 形式渐近展开的合法性 226

4．4 渐近展开和奇异扰动 227

4．4A 一些启发 229

4．4C 对半线性Dirichlet问题（Hs）的应用 236

4．5 古典数学物理中的某些奇异扰动问题 243

4．5A 瞬时力作用下非谐振荡的扰动 243

4．5B 非线性弹性理论中的薄膜逼近 244

4．5C 粘性流体中受扰动的Jeffrey-Hamel流 247

注记 251

第三部分 大范围分析 259

第五章 一般非线性算子的全局性理论 259

5．1 线性化方法 259

5．1A 整体同胚 260

5．2B 具奇异值的映射 269

5．2 有穷维逼近 276

5．2A Galerkin逼近 276

5．2B 对拟线性椭圆型方程的应用 280

5．2C 取消强制性条件 282

5．2D 梯度算子的Rayleigh-Ritz逼近 285

5．2E Navier-Stokes方程的稳态解 287

5．3 同伦，映射度及其推广 290

5．3A 一些启发 290

5．3B 连续映射的紧扰动 292

5．3C 恒等算子的紧扰动和Leray-Schauder度 294

5．3D 线性Fredholm映射的紧扰动和稳定同伦 305

5．3E 零指标C2正常Fredholm算子的广义度 313

5．4 同伦和非线性算子的映射性质 317

5．4A 满射性 317

5．4B 单叶性和同胚性质 319

5．4C 不动点定理 321

5．4D 谱性质和非线性特征值问题 324

5．4E 可解性的充要条件及其推论 330

5．4F 保锥算子的性质 334

5．5 对非线性边值问题的应用 336

5．5A 拟线性椭圆型方程的Dirichlet问题 337

5．5B △u+f（x,u）=0的Dirichlet问题的正解 339

5．5C 周期水波 340

5．5D 自治系统周期运动的连续性 346

5．5E 强制半线性椭圆型边值问题有解的必要且充分条件 349

注记 351

第六章 梯度映射的临界点理论 356

6．1 极小化问题 356

6．1A 达到下确界 357

6．1B 一个例子 362

6．1C 和拟线性椭圆型方程有关的极小化问题 364

6．2 几何学和物理学中某些极小化问题 373

6．2A 常值负Hermite曲率的Hermite度量 373

6．2B 非线性弹性理论中的稳定平衡状态 379

6．2C Plateau问题 382

6．2D Euclid量子场论中的动力学不稳定性 385

6．3 等周问题 387

6．3A 梯度映射的非线性特征值问题 388

6．3B 半线性梯度算子方程的可解性 396

6．4 几何学和物理学中的等周问题 403

6．4A 非线性Hamilton方程的大振幅周期解族 403

6．4B 具零Euler-Poincaré特征的紧2维流形的Riemann结构，该结构有指定的Gauss曲率 408

6．4C 具指定纯量曲率的Riemann流形 411

6．4D S2上指定Gauss曲率的保角度量 414

6．4E 一个全局性自由边界问题——理想流体中的持久稳态旋涡环 416

6．5A 最速下降法的改进 423

6．5 Hilbert空间中的M.Morse临界点理论 423

6．5B 退化和非退化临界点 425

6．5C Morse型数 428

6．5D Morse不等式 433

6．5E 说明 435

6．6 Ljuysternik-Schnirelmann临界点理论 439

6．6A 一些启发 439

6．6B 极小极大原则 440

6．6C Ljusternik-Schniretmann畴数 444

6．6D 对非线性特征值问题的应用 446

6．7A 对梯度映射分歧理论的应用 451

6．7 一般临界点理论的应用 451

6．7B 和梯度映射有关的算子方程的多重解 455

6．7C 柔软弹性板的整体平衡状态 457

6．7D 某些非线性波方程的驻状态 462

6．7E 紧Riemann流形上两点间的短程线 465

注记 467

附录A 微分流形 471

附录B 微分形式的Hodge-Kodaira分解 476

参考文献 479

参考文献（补充） 489

内容索引 496

译后记 503