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第1章 引论 1

1．1 数值逼近的内容和方法 1

1．2 Peano核定理 2

1．3 误差 4

1．4 计算函数值的坏条件的判别法 7

第2章 插值法 8

2．1 插值的一般问题 8

2．1．1 插值问题 8

2．1．2 广义插值 10

2．2 Lagrange插值 11

2．2．1 多项式插值 11

2．2．2 代数插值的Lagrange形式 11

2．2．3 误差估计 14

2．2．4 收敛性与稳定性 19

2．2．5 高次插值与低次插值的递推关系 26

2．3 Hermite插值 29

2．3．1 Hermite插值 29

2．3．2 用基插值法求Hermite插值多项式 30

2．3．3 2n-1次Hermite插值 33

2．3．4 两节点五次Hermite插值 37

2．4 差分、差商与Newton插值 39

2．4．1 差分 39

2．4．2 差分性质 43

2．4．3 差商 44

2．4．4 Newton插值多项式 45

2．4．5 差商的性质 49

2．4．6 等距节点情形的插值公式 52

2．4．7 重节点差商 55

2．5．1 张量积插值 58

2．5 二元插值 58

2．5．2 Coons曲面 60

习题 63

第3章 样条函数 67

3．1 三次插值样条函数 67

3．1．1 三次插值样条解的存在唯一性 67

3．1．2 三次插值样条的计算 72

3．1．3 误差估计 75

3．1．4 三次插值样条的内在性质 79

3．2．1 样条函数定义 81

3．2 样条函数空间 81

3．2．2 几个特殊样条函数 83

3．2．3 样条函数空间 85

3．3 B-样条基底 88

3．3．1 B-样条构造 88

3．3．2 B-样条基本性质 90

3．3．3 B-样条基底 98

3．3．4 举例 99

3．3．5 重节点B-样条 100

3．4．1 B-样条表示多项式 104

3．4 样条函数的性质与计算 104

3．4．2 样条函数求值 106

3．4．3 样条函数微商 109

3．4．4 样条函数的变缩性质（V-D性质） 111

3．5 样条插值 113

3．5．1 等距节点插值 113

3．5．2 插值点与节点的关系 116

3．5．3 几种节点的取法 118

3．5．4 参数样条 119

习题 123

第4章 数值积分与数值微分 127

4．1 等距节点求积公式 127

4．1．1 基本求积公式 127

4．1．2 复化求积公式 130

4．1．3 计算误差分析 132

4．1．4 求积公式的代数精度 133

4．1．5 求积公式的误差 135

4．2 Richardson外推法与Romberg求积 137

4．2．1 Richardson外推法 138

4．2．2 Bernoulli多项式与Bernoulli数 141

4．2．3 Euler-Maclaurin求和公式 144

4．2．4 Romberg积分 148

4．2．5 样条函数方法求数值积分 150

4．3 正交多项式 151

4．3．1 正交多项式 151

4．3．2 正交多项式的性质 153

4．3．3 几个正交多项式 156

4．4 Gauss型求积公式 162

4．4．1 一般概念 162

4．4．2 Gauss型求积公式举例 165

4．4．3 几个Gauss型求积公式 167

4．5 奇异积分的数值积分法 170

4．5．1 含有振荡函数的数值积分 170

4．5．2 奇异积分的数值方法 172

4．6 数值微分 176

4．6．1 基本数值微分公式 176

4．6．2 外推法 180

4．6．3 样条函数的应用 182

习题 183

5．1．1 线性正算子 187

5．1 线性正算子与Weierstrass定理 187

第5章 最佳逼近 187

5．1．2 伯恩斯坦多项式 191

5．1．3 Weierstrass定理 195

5．2 线性赋范空间的最佳逼近 196

5．2．1 线性赋范空间 196

5．2．2 最佳逼近存在定理 197

5．2．3 最佳逼近唯一性定理 198

5．3 最佳一致逼近 200

5．3．1 最佳一致逼近问题 201

5．3．2 切比雪夫定理 203

5．3．3 求最佳一致逼近多项式 207

5．3．4 里米兹算法 208

5．3．5 离散情形 210

5．4 内积空间的最佳逼近 211

5．4．1 内积空间 211

5．4．2 内积空间的正交组 214

5．4．3 内积空间的最佳逼近 214

5．4．4 正规方程组 217

5．5．1 线性最小二乘法 219

5．5 最小二乘逼近 219

5．5．2 样条最小二乘数据拟合 225

5．5．3 一般的最小二乘逼近 230

5．6 函数的最佳平方逼近 231

5．6．1 函数的最佳平方逼近 231

5．6．2 切比雪夫级数 233

5．6．3 缩短幂级数 236

5．7 有理函数逼近 239

5．7．1 Pade 逼近 239

5．7．2 Chebyshev-Pade 逼近 242

5．7．3 函数的连分式表示 245

习题 246

第6章 函数的表示理论 249

6．1 Fourier级数与Fourier变换 249

6．1．1 Fourier级数与周期函数的最佳平方逼近 249

6．1．2 Fourier变换 252

6．1．3 快速Fourier变换 257

6．2 小波级数与小波变换 262

6．2．1 从Fourier分析到小波分析 262

6．2．2 多分辩分析（MRA） 267

6．2．3 小波分解与重构算法 268

6．2．4 小波变换 274

习题 276

第7章 常微分方程数值解 278

7．1 Euler法 278

7．1．1 Euler法 278

7．1．2 改进Euler法 281

7．1．3 Euler法舍入误差传播 282

7．2 Rung-Kutta法 284

7．2．1 Taylor展开法 284

7．2．2 Runge-Kutta型方法 287

7．2．3 三阶Runge-Kutta法 292

7．2．4 四阶Runge-Kutta法 293

7．3 线性多步法 295

7．3．1 线性多步法 295

7．3．2 Adams型方法 299

7．3．3 误差分析 302

7．4 外推法 304

7．5 收敛性与稳定性 309

7．5．1 单步法的收敛性 309

7．5．2 稳定性 313

7．6 边值问题的差分法及样条函数配置法 316

7．6．1 化为初值问题 316

7．6．2 差分方法 317

7．6．3 样条函数方法 319

7．7 微分方程组数值解法 325

7．7．1 一阶微分方程组 325

7．7．2 刚性问题 328

习题 331

参考文献 334

索引 335