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第一章 绪论 1

1 数值分析的对象与特点 1

2 误差来源与误差分析的重要性 2

3 误差的基本概念 4

3.1 误差与误差限 4

3.2 相对误差与相对误差限 5

3.3 有效数字 5

3.4 数值运算的误差估计 7

4 数值运算中误差分析的方法与原则 8

习题 12

1 引言 13

第二章 插值法 13

2 拉格朗日插值 14

2.1 插值多项式的存在唯一性 14

2.2 线性插值与抛物插值 15

2.3 拉格朗日插值多项式 16

2.4 插值余项 17

3 逐次线性插值法 20

4 均差与牛顿插值公式 21

4.1 均差及其性质 21

4.2 牛顿插值公式 23

5 差分与等距节点插值公式 24

5.1 差分及其性质 24

5.2 等距节点插值公式 26

6 埃尔米特插值 28

7 分段低次插值 30

7.1 多项式插值的问题 30

7.2 分段线性插值 31

7.3 分段三次埃尔米特插值 32

8 三次样条插值 33

8.1 三次样条函数 34

8.2 三转角方程 34

8.3 三弯矩方程 37

8.4 计算步骤与例题 38

8.5 三次样条插值的收敛性 38

习题 40

第三章 函数逼近与计算 43

1 引言与预备知识 43

1.1 问题的提出 43

1.2 维尔斯特拉斯定理 44

1.3 连续函数空间C[a，b] 45

2 最佳一致逼近多项式 45

2.1 最佳一致逼近多项式的存在性 45

2.2 切比雪夫定理 46

2.3 最佳一次逼近多项式 48

2.4 里姆斯算法 49

3 最佳平方逼近 50

3.1 内积空间 50

3.2 函数的最佳平方逼近 53

4 正交多项式 55

4.1 勒让德多项式 55

4.2 切比雪夫多项式 58

4.3 其他常用的正交多项式 60

5 函数按正交多项式展开 61

6 近似最佳一致逼近多项式 63

6.1 截断切比雪夫级数 63

6.2 拉格朗日插值余项的极小化 65

6.3 泰勒级数项数的节约 67

7.1 一般的最小二乘逼近 68

7 曲线拟合的最小二乘法 68

7.2 用正交函灵敏作最小二乘拟合 71

7.3 多元最小二乘拟合 73

8 傅立叶逼近与快速傅立叶变换 74

8.1 最佳平方三角逼近与三角插值 74

8.2 快速傅氏变换（FFT） 76

习题 80

第四章 数值积分与数值微分 83

1 引言 83

1.1 数值求积的基本思想 83

1.2 代数精度的概念 84

1.3 插值型的求积公式 84

2.1 柯特斯系数 85

2 牛顿-柯特斯公式 85

2.2 偶阶求积公式的代数精度 87

2.3 几种低阶求积公式的余项 87

2.4 复化求积法及其收敛法 88

3 龙贝格算法 90

3.1 梯形法的递推化 90

3.2 龙贝格公式 92

3.3 李查逊外推加速法 93

3.4 梯形法的余项展开式 95

4 高斯公式 96

4.1 高斯点 97

4.2 高斯-勒让德公式 98

4.4 高斯公式的稳定性 99

4.3 高斯公式的余项 99

4.5 带权的高斯公式 100

5 数值微分 101

5.1 中点方法 101

5.2 插值型的求异公式 103

5.3 实用的五点公式 105

5.4 样条求导 106

习题 106

第五章 常微分方程数值解法 108

1 引言 108

2 尤拉方法 108

2.1 尤拉公式 108

2.2 后退的尤拉公式 110

2.3 梯形公式 111

2.4 改进的尤拉公式 112

2.5 尤拉两步公式 113

3 龙格-库塔方法 115

3.1 泰勒级数法 115

3.2 龙格-库塔方法的基本思想 116

3.3 二阶龙格-库塔方法 117

3.4 三阶龙格-库塔方法 118

3.5 四阶龙格-库塔方法 119

3.6 变步长的龙格-库塔方法 121

4.1 单步法的收敛性 122

4 单步法的收敛性和稳定性 122

4.2 单步法的稳定性 124

5 线性多步法 126

5.1 基于数值积分的构造方法 126

5.2 亚当姆斯显式公式 126

5.3 亚当姆斯隐式公式 127

5.4 亚当姆斯预测-校正系统 128

5.5 基于泰勒展开的构造方法 130

5.6 米尔尼公式 131

5.7 哈明公式 132

6 方程组与高阶方程的情形 133

6.1 一阶方程组 133

6.2 化高阶方程组为一阶方程组 134

7 边值问题的数值解法 135

7.1 试射法 136

7.2 差分方程的建立 136

7.3 差分问题的可解性 138

7.4 差分方程的收敛性 139

习题 141

第六章 方程求根 143

1 根的搜索 143

1.1 逐步搜索法 143

1.2 二分法 143

2 迭代法 145

2.1 迭代过程的收敛性 145

2.2 迭代公式的加工 148

3 牛顿法 150

3.1 牛顿公式 150

3.2 牛顿法的几何解释 151

3.3 牛顿法的局部收敛性 151

3.4 牛顿法应用举例 153

3.5 牛顿下山法 154

4 弦截法与抛物线法 155

4.1 弦截法 155

4.2 抛物线法 158

5 代数方程求根 160

5.1 多项式求值的秦九韶算法 160

5.3 劈因子法 161

5.2 代数方程的牛顿法 161

习题 163

第七章 解线性方程组的直接方法 165

1 引言 165

2 高斯消去法 165

2.1 高斯消去法 165

2.2 矩阵的三角分解 169

2.3 计算量 170

3 高斯主元素消去法 171

3.1 完全主元素消去法 173

3.2 列主元素消去法 174

3.3 高斯-若当消去法 176

4 高斯消去法的变形 178

4.1 直接三角分解法 178

4.2 平方根法 181

4.3 追赶法 185

5 向量和矩阵的范数 192

6 误差分析 192

6.1 矩阵的条件数 192

6.2 舍入误差 196

习题 198

第八章 解线性方程组的迭代法 202

1 引言 202

2.1 雅可比迭代法 204

2 雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法 204

2.2 高斯-塞德尔迭代法 205

3 迭代法的收敛性 206

4 解线性方程的组的超松弛迭代法 213

习题 217

第九章 矩阵的特征值与特征向量计算 220

1 引言 220

2 幂法及反幂法 221

2.1 幂法 221

2.2 加速方法 225

2.3 反幂法 227

3.1 引言 229

3 雅可比方法 229

3.2 雅可比方法 230

3.3 雅可比过关法 235

4 豪斯荷尔德法 236

4.1 引言 236

4.2 用正交相似变换约化矩阵 239

5 QR算法 243

5.1 引言 243

5.2 QR算法 245

5.3 带原点位移的QR方法 248

习题 252

部分习题答案 254