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第1章 绪论 1

1.1 “数值分析”研究对象与特点 1

1.2 数值计算的误差 2

1.2.1 误差来源与分类 2

1.2.2 误差与有效数字 3

1.2.3 函数计算的误差估计 4

1.3 误差定性分析与避免误差危害 5

1.3.1 病态问题与条件数 5

1.3.2 算法的数值稳定性 6

1.3.3 避免误差危害的若干原则 7

习题一 8

第2章 方程求根 9

2.1 方程求根与二分法 9

2.1.1 引言 9

2.1.2 二分法 10

2.2 迭代法及其收敛 11

2.2.1 不动点迭代法 11

2.2.2 局部收敛性与收敛阶 13

2.3 Steffensen加速迭代法 14

2.4 Newton迭代法 16

2.4.1 Newton法及其收敛性 16

2.4.2 Newton下山法 17

2.4.3 重根情形 18

2.4.4 离散Newton法（割线法） 19

习题二 20

第3章 解线性方程组的直接法 21

3.1 引言与矩阵的一些基础知识 21

3.1.1 引言 21

3.1.2 矩阵特征值与谱半径 21

3.1.3 对称正定矩阵 23

3.1.4 正交矩阵与初等矩阵 23

3.2 Gauss消去法 25

3.2.1 Gauss顺序消去法 25

3.2.2 消去法与矩阵三角分解 27

3.2.3 列主元消去法 28

3.3 直接三角分解法 29

3.3.1 Doolittle分解法 29

3.3.2 Cholesky分解与平方根法 31

3.3.3 三对角方程组的追赶法 32

3.4 向量和矩阵范数 34

3.4.1 内积与向量范数 34

3.4.2 矩阵范数 35

3.5 误差分析与病态方程组 38

3.5.1 矩阵条件数与扰动方程组误差界 38

3.5.2 病态方程组的解法 41

习题三 42

第4章 解线性方程线的迭代法 45

4.1 迭代法及其收敛性 45

4.1.1 向量序列及矩阵序列的极限 45

4.1.2 迭代法的构造 46

4.1.3 迭代法的收敛性与收敛速度 47

4.2 Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法 49

4.2.1 Jacobi迭代法 49

4.2.2 Gauss-Seidel迭代法 50

4.2.3 J法与GS法的收敛性 51

4.3 逐次超松驰迭代法 53

4.3.1 SOR迭代公式 53

4.3.2 SOR迭代法收敛性 54

习题四 56

第5章 插值与最小二乘法 59

5.1 插值问题与插值多项式 59

5.2 Lagrange插值 60

5.2.1 线性插值与二次插值 60

5.2.2 Lagrange插值多项式 61

5.2.3 插值余项与误差估计 62

5.3 均差与Newton插值公式 65

5.3.1 均差及其性质 65

5.3.2 Newton插值 66

5.4 差分与Newton前后插值公式 67

5.4.1 差分及其性质 67

5.4.2 等距节点插值公式 69

5.5 Hermite插值 71

5.6 分段低次插值 73

5.6.1 多项式插值的收敛性问题 73

5.6.2 分段线性插值 74

5.6.3 分段三次Hermite插值 75

5.7 三次样条插值 76

5.7.1 三次样条函数 76

5.7.2 三弯矩方程 77

5.7.3 三次样条插值收敛性 80

5.8 曲线拟合的最小二乘法 80

5.9 正交多项式及其在最小二乘的应用 83

5.9.1 内积与正交多项式 83

5.9.2 Legendre多项式 85

5.9.3 Chebyshev多项式 86

5.9.4 其他正交多项式 87

5.9.5 用正交多项式作最小二乘拟合 88

习题五 89

第6章 数值积分 91

6.1 数值积分基本概念 91

6.1.1 引言 91

6.1.2 插值求积公式 91

6.1.3 求积公式的代数精确度 92

6.1.4 求积公式的收敛性与稳定性 94

6.2 梯形公式与Simpson求积公式 95

6.2.1 Newton-Cotes公式与Simpson公式 95

6.2.2 复合梯形公式与复合Simpson公式 97

6.3 外推原理与Romberg求积 100

6.3.1 复合梯形公式递推化与节点加密 100

6.3.2 外推法与Romberg求积公式 101

6.4 Gauss型求积公式 105

6.4.1 最高代数精确度求积公式 105

6.4.2 Gauss-Legendre求积公式 108

6.4.3 Gauss-Chebyshev求积公式 109

习题六 110

第7章 常微分方程数值解 112

7.1 引言 112

7.2 简单的单步法及基本概念 112

7.2.1 Euler法、后退Euler法与梯形法 112

7.2.2 单步法的局部截断误差 115

7.2.3 改进Euler法 116

7.3 Runge-Kutta方法 117

7.3.1 显示Runge-Kutta法的一般形式 117

7.3.2 三、三级显示R-K方法 118

7.3.3 四阶R-K方法及步长的自动选择 119

7.4 单步法的收敛性与绝对稳定性 121

7.4.1 单步法的收敛性 121

7.4.2 绝对稳定性 122

7.5 线性多步法 124

7.5.1 线性多步法的一般公式 124

7.5.2 Adams显式与隐式方法 125

7.5.3 Adams预测-校正方法 128

7.5.4 Milne方法与Hamming方法 129

7.6 一阶方程组与高阶方程数值方法 133

习题七 134

计算实验题 136

参考文献 138