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第一章 微分流形 1

1 微分流形的定义 1

2 切空间 8

3 子流形 19

4 Frobenius定理 30

第二章 多重线性代数 39

1 张量积 39

2 张量 47

3 外代数 52

第三章 外微分 65

1 张量丛 65

2 外微分 74

3 外微分式的积分 85

4 Stokes公式 91

第四章 联络 100

1 矢量丛上的联络 100

2 仿射联络 111

3 标架丛上的随着络 119

第五章 黎曼流形 129

1 黎曼几何的基本定理 129

2 测地法坐标 139

3 截面曲率 150

4 Causs-Bonnet定理 157

第六章 李群和活动标架法 167

1 李群 167

2 李氏变换群 178

3 活动标架法 191

4 曲面论 201

第七章 复流形 212

1 复流形 212

2 矢量空间上的复结构 218

3 近复流形 226

4 复矢量丛上的联络 235

5 Hermite流形和Kahler流形 246

第八章 Finsler几何 254

1 引言 254

2 射影化切丛PTM的几何与Hilbert形式 256

3 Chern联络 262

3.1 联络的确定 263

3.2 Cartan张量与黎曼几何的特征 270

3.3 联络形式在局部坐标下的表达式 273

4 结构方程和旗曲率 278

4.1 曲率张量 279

4.2 旗曲率和Ricci曲率 283

4.3 特殊的Finsler空间 285

5 弧长的第一变分公式和测地线 288

6 弧长的第二变分公式和Jacobi场 297

7 完备性和Hopf-Rinow定理 305

8 Bonnet-Myers定于是和Synge定理 317

附录一 欧氏空间中的曲线和曲面 322

1.切线回转定理 322

2.四顶点定理 329

3.平面曲线的等周不等式 331

4.空间曲线的全曲率 336

5.空间曲线遥变形 342

6.Gauss-Bonnet公式 345

7.Cohn-Vossen和Minkowski的唯一性定理 352

8.关于极小曲面的Bernstein定理 359

附录二 微分几何与理论物理 363

参考文献 370

索引 372