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第一章 绪论 1

1.1 数值分析研究对象与特点 1

1.2 数值计算的误差 3

1.2.1 误差来源与分类 3

1.2.2 误差与有效数字 4

1.2.3 数值运算的误差估计 8

1.3 误差定性分析与避免误差危害 10

1.3.1 病态问题与条件数 11

1.3.2 算法的数值稳定性 12

1.3.3 避免误差危害的若干原则 14

习题 18

评注 18

第二章 插值法 21

2.1 引言 21

2.2 拉格朗日插值 23

2.2.1 线性插值与抛物插值 23

2.2.2 拉格朗日插值多项式 26

2.2.3插值余项与误差估计 28

2.3 均差与牛顿插值公式 31

2.3.1 均差及其性质 31

2.3.2 牛顿插值公式 33

2.4 差分与等距节点插值 35

2.4.1 差分及其性质 35

2.4.2 等距节点插值公式 38

2.5 埃尔米特插值 41

2.6 分段低次插值 45

2.6.1 高次插值的病态性质 45

2.6.2 分段线性插值 47

2.6.3 分段三次埃尔米特插值 48

2.7 三次样条插值 51

2.7.1 三次样条函数 51

2.7.2 样条插值函数的建立 52

2.7.3 误差界与收敛性 57

评注 58

习题 58

3.1.1 函数逼近与函数空间 61

第三章 函数逼近与曲线拟合 61

3.1 函数逼近的基本概念 61

3.1.2 范数与赋范线性空间 64

3.1.3 内积与内积空间 65

3.2 正交多项式 69

3.2.1 正交函数族与正交多项式 69

3.2.2 勒让德多项式 71

3.2.3 切比雪夫多项式 74

3.2.4 其他常用的正交多项式 77

3.3 最佳一致逼近多项式 78

3.3.1 基本概念及其理论 78

3.3.2 最佳一次逼近多项式 81

3.4.1 最佳平方逼近及其计算 83

3.4 最佳平方逼近 83

3.4.2 用正交函数族作最佳平方逼近 87

3.5 曲线拟合的最小二乘法 90

3.5.1 最小二乘法及其计算 90

3.5.2 用正交多项式做最小二乘拟合 96

3.6 最佳平方三角逼近与快速傅里叶变换 99

3.6.1 最佳平方三角逼近与三角插值 99

3.6.2 快速傅氏变换(FFT) 102

3.7 有理逼近 108

3.7.1 有理逼近与连分式 108

3.7.2 帕德逼近 110

评注 114

习题 115

第四章 数值积分与数值微分 118

4.1 引言 118

4.1.1 数值求积的基本思想 118

4.1.2 代数精度的概念 120

4.1.3 插值型的求积公式 121

4.1.4 求积公式的收敛收与稳定性 122

4.2 牛顿-柯特斯公式 123

4.2.1 柯特斯系数 123

4.2.2 偶阶求积公式的代数精度 125

4.2.3 几种低阶求积公式的余项 126

4.3 复化求积分公式 127

4.3.1 复化梯形公式 128

4.3.2 复化辛普森求积公式 129

4.4 龙贝格求积公式 131

4.4.1 梯形法的递推化 131

4.4.2 龙贝格算法 133

4.4.3 理查森外推加速法 135

4.5 高斯求积公式 139

4.5.1 一般理论 139

4.5.2 高斯-勒让德求积公式 144

4.5.3 高斯-切比雪夫求积公式 146

4.6 数值微分 148

4.6.1 中点方法与误差分析 148

4.6.2 插值型的求导公式 150

4.6.3 利用数值积分求导 153

4.6.4 三次样求导 155

4.6.5 数值微分的外推算法 156

评注 157

习题 158

第五章 解线性方程组的直接方法 161

5.1 引言与预备知识 161

5.1.1 引言 161

5.1.2 向量和矩阵 162

5.1.3 特殊矩阵 163

5.2 高斯消去法 165

5.2.1 高斯消去法 166

5.2.2 矩阵的三角分解 172

5.3 高斯主元素消去法 174

5.3.1 列主元素消去法 176

5.3.2 高斯-若当消去法 180

5.4 矩阵三解分解法 183

5.4.1 直接三解分解法 183

5.4.2 平方根法 188

5.4.3 追赶法 193

5.5 向量和矩阵的范数 196

5.6 误差分析 205

5.6.1 矩阵的条件数 205

5.6.2 迭代改善法 212

5.7 矩阵的正交三角化及应用 214

5.7.1 初等反射阵 215

5.7.2 平面旋转矩阵 218

5.7.3 矩阵的QR分解 220

5.7.4 求解超定方程组 225

评注 228

习题 229

第六章 解线性方程组的迭代法 233

6.1 引言 233

6.2 基本迭代法 236

6.2.1 雅可比迭代法 237

6.2.2 高斯-塞德尔迭代法 238

6.2.3 解大型稀疏线性方程组的逐次超松驰迭代法 240

6.3.1 一阶定常迭代法的基本定理 243

6.3 迭代法的收敛性 243

6.3.2 关于解某些特殊方程组迭代法的收敛性 249

6.4 分块迭代法 256

评注 259

习题 259

第七章 非线性方程求根 261

7.1 方程求根与二分法 261

7.1.1 引言 261

7.1.2 二分法 262

7.2 迭代法及其收敛性 265

7.2.1 不动点迭代法 265

7.2.2 不动点的存在性与迭代法的收敛性 267

7.2.3 局部收敛性与收敛阶 269

7.3 迭代收敛的加速方法 272

7.3.1 埃特金加速收敛方法 272

7.3.2 斯蒂芬森迭代法 273

7.4 牛顿法 276

7.4.1 牛顿法及其收敛性 276

7.4.2 牛顿法应用举例 278

7.4.3 简化牛顿法与牛顿下山法 279

7.4.4 重根情形 282

7.5 弦截法与抛物线法 283

7.5.1 弦截法 283

7.5.2 抛物线法 285

7.6 解非线性方程组的牛顿迭代法 287

评注 289

习题 290

第八章 矩阵特征值问题计算 292

8.1 引言 292

8.2 幂法及反幂法 299

8.2.1 幂法 299

8.2.2 加速方法 304

8.2.3 反幂法 308

8.3 豪斯霍尔德方法 312

8.3.1 引言 312

8.3.2 用正交相似变换约化一般矩阵为上海森伯格阵 313

8.3.3 用正交相似变换约化对称阵对称三对角阵 317

8.4.1 QR算法 319

8.4 QR方法 319

8.4.2 带原点多移的QR方法 322

8.4.3 用单步QR方法计算上海森伯格阵特征值 325

8.4.4 双平QR方法(隐式QR方法) 329

评注 333

习题 333

第九章 常微分方程初值问题数值解法 336

9.1 引言 336

9.2 简单的数值方法与基本概念 337

9.2.1 欧拉法与后退欧拉法 337

9.2.2 梯形方法 340

9.2.3 单步法的局部截断误差与阶 341

9.2.4 改进的欧拉公式 343

9.3 龙格-库塔法的一般形式 344

9.3.1 显式龙格-库塔法的一般形式 344

9.3.2 二阶显式R-K方法 346

9.3.3 三阶与四阶显式R-K方法 348

9.3.4 变步长的龙格-库塔方法 351

9.4单步法的收敛性与稳定性 352

9.4.1 收敛性与相容性 352

9.4.2 绝对稳定性与绝对稳定域 355

9.5 线性多步法 360

9.5.1 线性多步法的一般公式 360

9.5.2 阿当姆斯显式与隐式公式 362

9.5.3 米尔尼方法与辛普森方法 366

9.5.4 汉明方法 367

9.5.5 预测-校正方法 368

9.5.6 构造多步法公式的注记和例 371

9.6 方程组和高阶方程 373

9.6.1 一阶方程组 373

9.6.2 化高阶方程为一阶方程组 376

9.6.3 刚性方程组 378

评注 380

习题 381

计算实习题 383

附录 并行算法及其基本概念 388

参考文献 398

部分习题答案 400