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前言 1

第一篇 分析引论 1

第一章 集合与映射 1

第一节 集合及其运算 1

1.1 集合的概念与记号 1

1.2 集合的运算 2

1.3 集合的运算法则 3

1.4 乘积集 4

习题1.1 4

第二节 实数集及其完备性 5

2.1 实数集的性质与不等式 5

2.3 区间集和邻域 6

2.2 常量和变量 6

2.4 实数集的完备性与确界公理 7

习题1.2 9

第三节 映射与函数 9

3.1 映射概念及相关问题 10

3.2 函数概念及其运算 11

3.3 函数的几种特性 17

3.4 函数应用举例 18

习题1.3 21

第二章 极限 24

第一节 无穷小量与无穷大量 24

1.1 无穷小量与无穷大量的概念 25

1.2 无穷小量与无穷大量的运算 27

习题2.1 29

第二节 变量的极限及其性质 31

2.1 变量的极限概念 31

2.2 函数的极限 32

2.3 变量极限的性质 36

习题2.2 37

第三节 极限的运算法则 39

3.1 四则运算法则 39

3.2 夹逼法则 42

3.3 极限 lim(x→0)sinx/x=1 42

3.4 复合运算法则 43

习题2.3 45

第四节 单调有界原理与无理数 e 46

4.1 单调有界原理 47

4.2 极限 lim(x→∞)(1+1/x)x=c 49

习题2.4 50

第五节 无穷小量的阶 51

5.1 无穷小量的阶 51

5.2 利用无穷小量等价代换求极限 52

习题2.5 53

第六节 极限概念的推广 54

第七节 极限应用举例 54

习题2.7 59

第三章 连续函数 61

第一节 函数的连续性概念、间断点及其分类 61

1.1 函数的连续性概念 61

1.2 函数的间断点及其分类 63

习题3.1 64

第二节 连续函数的运算与初等函数的连续性 65

2.1 连续函数的和、差、积、商的连续性 65

2.2 反函数的连续性 66

2.3 复合函数的连续性 66

2.4 初等函数的连续性 66

2.5 利用初等函数的连续性求极限 67

习题3.2 68

第三节 闭区间上连续函数的性质 69

3.1 闭区间上连续函数的有界性与最值性质 69

3.2 闭区间上连续函数的介值性质 70

习题3.3 72

1.1 数项级数概念 74

第一节 数项级数的概念与性质 74

第四章 常数项级数 74

1.2 数项级数的性质 77

习题4.1 78

第二节 正项级数的收敛判别法 79

2.1 正项级数的收敛准则 79

2.2 比较判别法 80

2.3 比值判别法 82

2.4 根式判别法 84

习题4.2 85

第三节 任意项级数的收敛判别法 86

3.1 交错级数及其收敛判别法 86

3.2 绝对收敛与条件收敛 87

3.3 级数的乘法运算 89

习题4.3 90

第五章 极限概念的精确化与实数基本定理 92

第一节 极限概念的精确化 92

1.1 过程的数学描述 92

1.2 函数极限的精确定义 94

1.3 用精确的极限定义论述极限问题 95

习题5.1 99

第二节 实数基本定理 100

2.1 单调有界原理的证明 100

2.2 区间套定理 101

2.3 致密性定理 102

2.4 Cauchy 收敛准则 104

习题5.2 107

第三节 闭区间上连续函数性质的证明 108

3.1 有界性定理 109

3.2 最大(小)值定理 109

3.3 介值定理 111

习题5.3 111

第四节 函数的一致连续性 112

4.1 函数的一致连续性概念 112

4.2 Gantor 一致连续性定理 114

习题5.4 115

第二篇 一元函数微积分 117

第六章 导数与微分 117

第一节 导数概念 117

1.1 引出导数概念的几个经典问题 117

1.2 导数定义 120

1.3 求导举例 122

1.4 函数的可导性与连续性的关系 124

1.5 导数在经济学中的一个应用——边际成本 125

习题6.1 126

第二节 求导法则 128

2.1 函数和、差、积、商的求导法则 129

2.2 反函数的求导法则 130

2.3 复合函数的求导法则——链式法则 132

2.4 初等函数的导数 134

2.5 隐函数求导法 134

2.6 由参数方程所确定的函数的求导法 136

2.7 高阶导数 138

2.8 导数应用举例 140

习题6.2 142

第三节 微分 146

3.1 微分概念 146

3.2 微分运算法则 148

3.3 高阶微分 149

3.4 利用微分作近似计算 150

习题6.3 151

第四节 利用导数求极限——L’Hospital 法则 153

4.1 0/0型未定式的极限 153

4.2 ∞/∞型未定式的极限 155

4.3 其他类型未定式的极限 156

习题6.4 158

第一节 微分中值定理 160

1.1 Lagrange 微分中值定理的发现 160

第七章 微分中值定理与 Taylor 公式 160

1.2 Lagrange 微分中值定理的证明 162

1.3 Lagrange 微分中值定理的推广——Cauchy 中值定理 164

习题7.1 166

第二节 Taylor 公式 168

2.1 Taylor 多项式与 Taylor 公式 168

2.2 Taylor 公式的余项估计 169

2.3 一些初等函数的 Madaurin 公式 172

2.4 Taylor 公式的简单应用 173

习题7.2 175

第八章 利用导数研究函数的性态 177

第一节 函数的单调性与极值 177

1.1 函数的单调性 177

1.2 函数的极值 178

1.3 极值问题的最优性条件 179

1.4 最大值与最小值 182

习题8.1 184

第二节 凸函数 186

2.1 凸函数概念 186

2.2 判定函数凸性的充分条件 187

2.3 凸函数的极值性质 188

习题8.2 189

第三节 平面曲线的曲率 190

3.1 弧微分 190

3.2 曲率概念 191

3.3 曲率的计算 193

3.4 曲率圆与曲率半径 194

习题8.3 196

第九章 积分及其应用 198

第一节 定积分概念 198

1.1 引出定积分概念的几个经典问题 198

1.2 定积分概念 201

1.3 定积分的几何意义 203

习题9.1 205

第二节 定积分的存在条件 205

2.1 可积的必要条件 205

2.2 可积函数类 206

2.3 可积性准则 207

习题9.2 209

3.1 定积分的性质 210

第三节 定积分的性质及积分中值定理 210

3.2 积分中值定理 212

3.3 可积函数的一些性质 214

习题9.3 216

第四节 微积分基本定理 217

4.1 Newton-Leibniz 公式 218

4.2 原函数存在定理 220

习题9.4 223

第五节 不定积分 225

5.1 不定积分的概念及性质 225

5.2 基本积分表 225

5.3 积分法则 226

习题9.5 231

6.1 换元积分法 233

第六节 积分的计算 233

6.2 分部积分法 239

6.3 积分表的使用方法 243

习题9.6 245

第七节 反常积分 248

7.1 无穷区间上的积分 248

7.2 无界函数的积分 251

7.3 反常积分的收敛判别法 253

7.4 绝对收敛 257

习题9.7 258

第八节 定积分应用举例 259

8.1 总量的可加性与微元法 260

8.2 几何应用举例 260

8.3 物理应用举例 264

习题9.8 268

第九节 微分方程的初等积分法 270

9.1 微分方程的几个基本概念 271

9.2 一阶变量分离方程 274

9.3 一阶齐次微分方程 276

9.4 一阶线性微分方程 278

9.5 利用变量代换求解微分方程 282

9.6 可降阶的高阶微分方程 283

9.7 应用举例 287

习题9.9 290

积分表 294

习题答案与提示 303

主要参考书 333