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第一章 向量 1

第一节 空间点的定义 1

第二节 定位向量 9

第三节 数量积 12

第四节 向量的模 16

第五节 参数曲线 27

第六节 平面 31

第七节 叉积 38

第二章 向量的微分法 43

第一节 导数 43

第二节 弧长 55

第一节 图形及水平曲线 58

第三章 多变量函数 58

第二节 偏导数 63

第三节 可微性和梯度 70

第四节 高阶偏导数 75

第四章 链式法则和梯度 81

第一节 链式法则 81

第二节 切平面 86

第三节 方向导数 92

第四节 仅依赖于离原点距离的函数 97

第五节 求偏导数更进一步的技巧 106

第五章 势函数 113

第一节 守恒定律 113

第二节 势函数 116

第三节 势函数的局部存在性 120

第四节 一个重要的特殊向量场 126

第五节 在积分号下求导 130

第六节 局部存在定理的证明 133

第六章 曲线积分 137

第一节 曲线积分的定义和计算 137

第二节 相反路径 146

第三节 具有势函数的向量场的曲线积分 149

第四节 积分对路径的依赖关系 158

第七章 二重积分 162

第一节 二重积分 162

第二节 累次积分 169

第三节 极坐标 180

第一节 标准形式 191

第八章 格林定理 191

第二节 向量场的散度和旋度 201

第九章 三重积分 210

第一节 三重积分 210

第二节 柱坐标和球坐标 214

第三节 重心 227

第十章 曲面积分 231

第一节 参数式，切平面和法向量 231

第二节 曲面面积 237

第三节 曲面积分 244

第四节 向量场的旋度和散度 252

第五节 三维空间中的散度定理 255

第六节 斯托克斯定理 264

第十一章 最大值和最小值 272

第一节 驻点 272

第二节 边界点 275

第三节 拉格朗奇乘数 280

第十二章 高阶导数 288

第一节 泰勒公式的前两项 288

第二节 在驻点的二次项 292

第三节 二次型的代数研究 298

第四节 偏微分算子 303

第五节 泰勒公式的一般式 311

第十三章 矩阵 316

第一节 矩阵 316

第二节 矩阵的乘法 320

第十四章 线性映射 328

第一节 映射 328

第二节 线性映射 335

第三节 几何应用 341

第四节 合成映射与逆映射 347

第十五章 行列式 354

第一节 二阶行列式 354

第二节 三阶行列式 358

第三节 行列式的加法性质 362

第四节 向量的无关性 370

第五节 乘积的行列式 371

第六节 矩阵的逆 372

第一节 雅可比矩阵 375

第十六章 多变量函数的应用 375

第二节 可微性 379

第三节 链式法则 381

第四节 逆映射 383

第五节 隐函数 387

第六节 海赛矩阵 391

第十七章 变量替换公式 394

第一节 作为面积和体积的行列式 394

第二节 扩大 402

第三节 二维空间中的变量变换公式 407

第四节 格林公式在变量替换公式中的应用 413

第五节 三维空间中的变量变换公式 416

第六节 在球面上的向量场 420

附录1 傅立叶级数 424

第一节 一般数量积 424

第二节 傅立叶级数的计算 431

附录2 级数 441

第一节 收敛级数 441

第二节 正项级数 444

第三节 比值检验法 449

第四节 积分检验法 451

第五节 绝对的和交错的收敛性 454

第六节 幂级救 455

第七节 幂级数的微分和积分 462

练习答案 467