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第一章 预备知识 1

1 逆函数定理 1

2 代数基本定理的“拓扑”证明 6

3 微分流形 11

4 可微映射 18

5 切空间与切映射 24

附录α 函数芽的概念与余切空间 30

练习A 32

第二章 第二可数性质，仿紧性质与单位分解 34

1 第二可数性质 34

2 局部紧性质 36

3 仿紧性质 38

4 单位分解 40

5 紧流形嵌入Euclid空间 45

练习B 47

第三章 Whitney嵌入定理 49

1 零测集 49

2 Whitney浸入定理 55

3 常态映射与Whitney嵌入定理 67

练习C 74

第四章 向量丛与管状邻域定理，映射的光滑化与同伦的光滑化 76

1 引例 76

2 向量丛的概念 82

3 子丛，Riemann度量，正交补丛 90

4 管状邻域定理证明的准备 92

5 管状邻域定理 107

6 映射的光滑化与同伦的光滑化 111

附录β 更一般的管状邻域定理 117

练习D 118

第五章 正则值与横截性 119

1 正则值与Sard定理 119

2 横截性 123

3 横截逼近定理 127

4 关于映射的Cr拓扑与Cr意义下的逼近 133

5 参数横截性定理与涉及带边流形的定理 137

附录γ Sard定理的证明 147

练习E 153

第六章 向量场与流，Morse函数 155

1 向量场与流 155

2 流形的匀齐性 161

3 带边流形的领圈邻域与倍流形 164

4 Morse函数 172

练习F 193

第七章 一维流形的分类与Brouwer不动点定理 195

1 一维微分流形的分类 195

2 Brouwer不动点定理 202

练习G 206

第八章 模2映射度与Borsuk-Ulam定理 207

1 模2映射度 208

2 模2环绕数 215

3 Borsuk-Ulam定理 220

练习H 225

第九章 定向映射度与Hopf定理 227

1 可定向流形 227

2 定向映射度与定向环绕数 233

3 Hopf定理 243

练习I 253

第十章 局部映射度，Leray乘积公式与Jordan-Brouwer分离定理 254

1 映射度定义的局部化 254

2 Leray乘积公式 262

3 Jordan-Brouwer分离定理 272

4 紧致超曲面的分离性质 277

练习J 283

第十一章 相交数，向量场奇点的指标与Poincare-Hopf定理 285

1 模2相交数 285

2 定向相交数 287

3 相交数定义的局部化 294

4 向量丛截面的光滑化与横截逼近 298

5 向量场孤立零点的指标 300

6 Poincare-Hopf定理 305

练习K 311

第十二章 映射度的积分表示与Gauss-Bonnet公式 312

1 映射度的积分表示 312

2 Gauss-Bonnet公式 318

练习L 322

附录δ 外微分形式的积分与一般Stokes定理 323

参考文献 345

术语索引 347

符号索引 350