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第一章绪论 1

§1引言 1

目录 1

§2构造数值方法的几种基本方法 2

2.1离散化 2

2.2用差商代替微商 3

2.3Taylor展开法 3

2.4数值积分法 4

2.5待定常数法 5

§3解常微分方程的数值方法主要研究的问题 6

1.1插值方法 8

第二章预备知识 8

§1代数插值 8

1.2Lagrange和Newton插值多项式 9

1.3插值余项 12

1.4有限差分及等距节点上的插值公式 12

§2数值积分的概念 15

§3非线性方程求根的简单迭代法 17

3.1简单迭代法 18

3.2简单迭代法的收敛性 18

3.3方程式的等价变形及几种常用简单迭代程序 20

§1引言 21

第三章解常微分方程初值问题的单步法 21

§2Euler方法 22

2.1Euler方法的构造及算法 22

2.2Euler方法的误差及误差估计 25

2.3Euler方法的稳定性 28

§3Euler方法的变形和改进 29

3.1梯形公式 29

3.2Heun公式与中点公式 31

§4高精度的单步方法——Runge-Kutta法 33

4.1Taylor级数法 33

4.2Runge-Kutta法的思想 34

4.3Runge-Kutta法 35

§5单步法的一般理论 42

5.1相容性、收敛性和误差估计 42

5.2单步方法的稳定性 46

习题 48

第四章解常微分方程初值问题的 50

线性多步方法 50

§1引言 50

§2Adams插值方法 50

2.1利用数值积分推导Adams外插公式 50

2.2Adams外插公式的局部截断误差估计 53

2.3Adams内插公式 55

§3线性多步方法——一般的插值 57

§4预估-校正方法 61

4.1预估-校正算法 61

4.2预估-校正算法的截断误差分析 63

4.3几种常用的预估-校正算法 66

§5线性多步方法的一般理论 68

5.1线性差分方程的几个理论结果 68

5.2局部截断误差和相容性概念 73

5.3稳定性和误差估计 78

5.4绝对稳定性概念 84

习题 95

第五章一阶常微分方程组与刚性问题 97

的数值方法 97

§1一阶常微分方程组的数值解法 97

1.1一阶常微分方程组的初值问题数值解 98

1.2高阶常微分方程的数值解 103

§2刚性方程组及其几个理论结果 106

§3解刚性方程组的几种数值方法 111

3.1Gear方法 111

3.2隐式Runge-Kutta法 112

习题 120

第六章加速收敛的外推算法及其对 122

常微分方程初值问题的应用 122

§1外推算法的基本概念 122

§2多项式外推算法 128

§3有理式外推算法 132

§4外推算法对求解常微分方程初值问题的应用 134

4.1提高数值解的精度 134

4.2利用外推法估计数值解的误差主项和步长选择 135

§5渐近展开式的存在性 138

§6求解常微分方程初值问题的GBS方法 141

§7外推算法的实现 145

习题 148

第七章常微分方程边值问题的数值解 149

§1引言 149

§2线性两点边值问题的打靶法 152

§3非线性边值问题的打靶法 157

§4多重打靶法 160

§5样条函数配点法 164

§6多项式级数求解线性两点边值问题 167

习题 177

主要参考文献 178