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第一章 抛物型方程的有限差分方法 1

第一编 有限差分方法 1

1 差分方法的基本概念 4

2.1 古典显格式 8

1.1 双曲型方程的特征 8

2 差分格式的建立 8

2.2 古典隐格式 9

2.3 加权六点格式及柯朗科一尼柯逊格式 10

2.4 李查逊格式 13

2.5 双侧逼迫--隐一显格式 13

2.6 积分恒等式方法 15

2.7 推广到多维 17

2.8 数值例子 19

3 差分方程的稳定性与收敛性 23

3.1 稳定性 24

3.2 判别稳定性的方法 26

3.3 差分方程解的收敛性 42

3.4 Lax等价定理的证明 45

3.5 差分格式的应用 47

4 守恒型方程的差分方程 49

4.1 变系数抛物型方程的差分格式 49

4.2 能量估计 53

4.3 非线性方程的差分方法 56

5.1 P--R格式 59

5.2 可裂格式 61

5.3 预校格式 63

5.4 局部一维格式 65

6 稳定性和冯·诺依曼条件的进一步分析 67

6.1 稳定性与适定性 67

6.2 冯·诺依曼条件 68

6.3 方程？=a2？的各种差分逼近 80

习题 82

第二章 双曲型方程的有限差分方法 86

1 基本知识 86

1.2 实例分析 90

2 线性双曲型方程的差分方法 91

2.1 一阶线性双曲型方程的差分方法 91

2.2 二阶线性双曲型方程的差分方法 99

2.3 定解条件的处理 104

2.4 线性双曲型微分方程组的差分方法 107

3 拟线性双曲型方程组的差分方法 113

3.1 特征线方法 115

3.2 特征差分格式 122

3.3 稳定性、收敛性分析 123

4 守恒型方程的有限差方法 126

4.1 守恒型方程(组)的广义解 128

4.2 守恒型方程的差分方法 131

5 守恒型方程的差分格式的收敛性 143

习题 146

第三章 椭圆型方程的有限差分方法 149

1 泊松方程的有限差分方法 149

1.1 五点格式 150

1.2 九点差分格式 152

1.3 极坐标形式下的差分格式 154

2 边界条件的处理 156

2.1 矩形区域 156

2.2 一般区域 157

3 差分方程解的存在唯一性、收敛性和误差估计 161

3.1 极值定理 162

3.2 五点差分格式的收敛性 167

习题 169

第二篇 有限单元法 171

第一章 变分原理 171

1 初等变分思想 174

1.1 多元函数极值 174

1.2 常微分方程二点边值问题的变分原理 176

2 变分原理与广义解 180

2.1 最小势能原理 180

2.2 虚功原理 184

2.3 最小热能原理与虚功原理的等价性 188

2.4 泊松方程第一、第三边值问题算子一△正定性的证明 189

3 古典变分方法 194

3.1 古典里兹算法和伽勒金算法 194

3.2 古典R--G法的理论意义 200

4 索伯列夫空间介绍及简单性质 204

4.1 广义导数 205

4.2 索伯列夫空间H1［a,b］ 209

习题 214

第二章 有限单元法 219

1 常微分方程边值问题的有限单元法 219

1.1 有限元方程的形成 219

1.2 有限元方程性质 227

1.3 实例分析 229

2 解二维问题的三角形元 235

2.1 有限元方程的形成 235

2.2 实例分析 247

3 高次元 254

3.1 一维的二次元、三次元 256

3.2 二维的矩形元 268

3.3 任意四边形剖分与等参数变换 271

4.1 定带宽消元法 278

4 有限元方程的有效解法 278

4.2 变带宽消元法 281

4.3 波阵法 282

4.4 多重网格迭代法 284

5 一维线性元的误差估计 289

6 提高有限元解的精度的讨论 295

6.1 迭代--校正法 296

6.2 超收敛 298

7 有限单元法在解特征值问题上的应用 305

7.1 两点边值的特征值问题的变分原理 305

7.2 解特征值问题的有限单元法 307

7.3 加速特征值及特征向量收敛速度的讨论 313

习题 317

1.1 一些基本定义 320

第三章 有限元方法理论基础介绍 320

1 预备知识 320

1.2 线性算子与线性泛函 321

1.3 最佳逼近概念 323

1.4 直交投影与黎兹表现定理 324

1.5 索伯列夫空间的一些性质 327

2 适定性 333

2.1 适定性问题的讨论 333

2.2 广义解的可微性 336

3 有限元解的收敛性及误差估计 338

3.1 收敛性 339

3.2 L2模估计 340

习题 342

附录 343

参考文献 348