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绪论 1

第1章 量纲分析、建模与不变性 4

1.1 引言 4

1.2 量纲分析：Buckingham Pi定理 4

1.2.1 量纲分析蕴涵的假设 4

1.2.2 量纲分析的结论 6

1.2.3 Buckingham Pi定理的证明 7

1.2.4 举例 9

习题1.2 13

1.3 量纲分析在PDEs中的应用 14

习题1.3 21

1.4 量纲分析的推广：变量尺度作用下PDEs的不变性 22

习题1.4 26

1.5 讨论 28

第2章 Lie变换群与无穷小变换 29

2.1 简介 29

2.2 Lie变换群 29

2.2.1 群 30

2.2.2 群的举例 30

2.2.3 变换群 31

2.2.4 单参数Lie变换群 31

2.2.5 单参数Lie变换群举例 32

习题2.2 33

2.3 无穷小变换群 33

2.3.1 Lie第一基本定理 34

2.3.2 Lie第一基本定理应用举例 35

2.3.3 无穷小生成元 36

2.3.4 不变函数 39

2.3.5 正则坐标 40

2.3.6 正则坐标集举例 42

习题2.3 44

2.4 点变换和拓展变换（延拓） 45

2.4.1 点变换的拓展群：单个因变量和单个自变量 46

2.4.2 拓展的无穷小变换：单个因变量和单个自变量 52

2.4.3 拓展变换：单个因变量和n个自变量 54

2.4.4 拓展的无穷小变换：单个因变量和n个自变量 57

2.4.5 拓展的变换与拓展的无穷小变换：m个因变量和n个自变量 60

习题2.4 62

2.5 多参数Lie变换群和Lie代数 64

2.5.1 r参数Lie变换群 64

2.5.2 Lie代数 68

2.5.3 Lie代数举例 70

2.5.4 可解Lie代数 72

习题2.5 73

2.6 曲线和曲面映射 75

2.6.1 不变曲面、不变曲线、不变点 75

2.6.2 曲线映射 78

2.6.3 曲线映射例子 79

2.6.4 曲面映射 80

习题2.6 81

2.7 局部变换 81

2.7.1 点变换 81

2.7.2 接触和高阶变换 83

2.7.3 局部变换例子 84

习题2.7 85

2.8 讨论 85

第3章 常微分方程 88

3.1 引言 88

习题3.1 92

3.2 一阶ODEs 92

3.2.1 正则坐标 93

3.2.2 积分因子 95

3.2.3 解曲线的映射 96

3.2.4 一阶常微分方程组的确定方程 98

3.2.5 给定群作用下一阶ODEs不变量的确定 100

习题3.2 104

3.3 点对称作用下二阶和高阶ODEs的不变性 106

3.3.1 通过正则坐标实现阶的约化 107

3.3.2 通过微分不变量实现阶的约化 109

3.3.3 阶的约化举例 111

3.3.4 n阶ODE的点变换的确定方程 116

3.3.5 给定群作用下n阶ODEs的不变量的确定 120

习题3.3 122

3.4 多参数Lie点变换群作用下阶的约化 124

3.4.1 2参数Lie群作用下二阶ODE的不变性 124

3.4.2 2参数Lie群作用下n阶ODE的不变性 128

3.4.3 具有可解Lie代数的r参数Lie群作用下n阶ODE的不变性 132

3.4.4 具有可解Lie代数的r参数Lie群作用下超定常微分方程组的不变性 140

习题3.4 144

3.5 接触对称和高阶对称 146

3.5.1 接触对称和高阶对称的确定方程 147

3.5.2 接触对称和高阶对称举例 149

3.5.3 利用具有特征形式的点对称实现阶的约化 155

3.5.4 用接触和高阶对称实现阶的约化 159

习题3.5 163

3.6 通过积分因子获得首次积分和阶的约化 164

3.6.1 一阶ODEs 166

3.6.2 二阶ODEs的积分因子的确定方程 169

3.6.3 二阶ODEs的首次积分 173

3.6.4 三阶和高阶ODEs的积分因子的确定方程 185

3.6.5 三阶和高阶ODEs的首次积分举例 197

习题3.6 203

3.7 积分因子与对称之间的基本联系 206

3.7.1 伴随对称 207

3.7.2 伴随不变性条件和积分因子 210

3.7.3 发现伴随对称和积分因子举例 212

3.7.4 Noether定理、变分对称和积分因子 219

3.7.5 对称、伴随对称和积分因子计算的比较 224

习题3.7 225

3.8 由对称和伴随对称实现首次积分的直接构造 227

3.8.1 源于对称和伴随对称的首次积分 228

3.8.2 用对称或伴随对称从Wronski公式获得首次积分 234

3.8.3 自伴随ODEs的首次积分 242

习题3.8 245

3.9 应用于边值问题 246

习题3.9 248

3.10 不变解 250

习题3.10 258

3.11 讨论 259

第4章 偏微分方程 264

4.1 引言 264

4.1.1 PDE的不变性 264

4.1.2 初等例子 266

习题4.1 268

4.2 标量PDEs的不变性 269

4.2.1 不变解 269

4.2.2 k阶PDE对称的确定方程 271

4.2.3 例子 275

习题4.2 288

4.3 偏微分方程组的不变性 293

4.3.1 不变解 294

4.3.2 偏微分方程组对称的确定方程 296

4.3.3 例子 298

习题4.3 308

4.4 应用于边值问题 312

4.4.1 标量PDE的边值问题不变性的公式 313

4.4.2 一个线性标量PDE的不完全不变性 329

4.4.3 线性偏微分方程组的不完全不变性 337

习题4.4 339

4.5 讨论 344

参考文献 347

译后记 358

《现代数学译丛》已出版书目 359