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第一篇 概率论 3

第1章 概率论的基本概念 3

1.1 随机试验、随机事件和样本空间 3

1.1.1 随机试验 3

1.1.2 样本点和样本空间 4

1.1.3 随机事件、基本事件、必然事件和不可能事件 4

1.1.4 事件的关系和运算 5

1.1.5 事件的运算法则 9

习题1.1 9

1.2 事件的频率和概率 10

1.2.1 古典概型 11

1.2.2 几何概型 13

1.2.3 事件的频率及性质 14

1.2.4 概率的公理化定义和性质 16

习题1.2 17

1.3 条件概率 18

1.3.1 条件概率 18

1.3.2 关于条件概率的三个重要公式 20

习题1.3 22

1.4 事件的独立性 24

1.4.1 两事件的独立性 24

1.4.2 两个以上事件的独立性 25

1.4.3 事件的独立性与试验的独立性 26

1.4.4 二项概率公式 27

习题1.4 28

本章小结 29

综合练习题一 30

第2章 随机变量及其分布 34

2.1 随机变量及其分布函数 34

2.1.1 随机变量的引进和定义 34

2.1.2 随机变量的分布 36

2.1.3 随机变量的分布函数及性质 38

习题2.1 39

2.2 离散型随机变量及其分布 39

2.2.1 离散型随机变量及其分布 39

2.2.2 三个重要的离散型随机变量 41

习题2.2 44

2.3 连续型随机变量及其分布 45

2.3.1 例子和定义 45

2.3.2 概率密度的性质 46

2.3.3 三个重要的连续型随机变量 48

习题2.3 54

2.4 随机变量函数的分布 55

习题2.4 59

本章小结 60

综合练习题二 61

第3章 多维随机变量及其分布 67

3.1 二维随机变量及其分布 67

3.1.1 二维随机变量及其分布函数 67

3.1.2 二维离散型随机变量及其分布律 69

3.1.3 二维连续型随机变量 70

习题3.1 72

3.2 边缘分布和随机变量的独立性 73

3.2.1 边缘分布函数及两随机变量独立性的定义 73

3.2.2 边缘分布律及两随机变量独立的等价条件 75

3.2.3 边缘概率密度和两随机变量独立的等价条件 77

习题3.2 79

3.3 条件分布简介 81

3.3.1 离散型随机变量的条件分布律 81

3.3.2 连续型随机变量的条件概率密度 82

习题3.3 83

3.4 两个随机变量函数的分布 84

3.4.1 离散型随机变量函数的分布 84

3.4.2 连续型随机变量函数的分布 86

习题3.4 90

本章小结 91

综合练习题三 92

第4章 随机变量的数字特征 99

4.1 数学期望 99

4.1.1 数学期望的实际意义 99

4.1.2 数学期望的定义和例子 100

4.1.3 随机变量函数的数学期望公式 102

4.1.4 数学期望的性质 104

习题4.1 105

4.2 方差 107

4.2.1 方差的实际意义和定义 107

4.2.2 方差的计算 108

4.2.3 契比雪夫不等式 109

4.2.4 方差的性质 110

习题4.2 111

4.3 协方差和相关系数 112

4.3.1 协方差和相关系数的引进和定义 112

4.3.2 协方差的计算 113

4.3.3 协方差和相关系数的性质 115

4.3.4 多维随机变量的数学期望和协方差矩阵 115

4.3.5 n维正态分布 116

4.3.6 矩 118

4.3.7 柯西-施瓦兹不等式 118

习题4.3 118

4.4 大数定律和中心极限定理简介 119

4.4.1 大数定律 119

4.4.2 中心极限定理 120

习题4.4 122

本章小结 123

综合练习题四 124

第二篇 随机过程 131

第5章 随机过程的概念及其统计特性 131

5.1 随机过程的概念及统计描述 131

5.1.1 随机过程的概念 131

5.1.2 随机过程的分类 133

5.1.3 随机过程的有限维分布函数族 134

5.1.4 随机过程的数字特征 134

5.1.5 二维随机过程的分布函数和数字特征 136

习题5.1 138

5.2 泊松过程和维纳过程 139

5.2.1 独立增量过程 139

5.2.2 正态过程 141

5.2.3 正交增量过程 142

习题5.2 142

本章小结 143

综合练习题五 143

第6章 马尔可夫链 148

6.1 马尔可夫链及其转移概率 148

6.1.1 马尔可夫链的概念 149

6.1.2 马尔可夫链的转移概率 149

习题6.1 154

6.2 有限维分布和遍历性 155

6.2.1 有限维分布 155

6.2.2 遍历性和极限分布 156

习题6.2 159

本章小结 160

综合练习题六 161

第7章 平稳过程 164

7.1 平稳过程及相关函数 164

7.1.1 平稳过程的概念 164

7.1.2 自相关函数的性质 168

7.1.3 联合平稳 169

习题7.1 170

7.2 各态历经性简介 170

习题7.2 174

7.3 平稳过程的功率谱密度 175

7.3.1 时间信号的功率谱密度 175

7.3.2 平稳过程的平均功率和功率谱密度 176

7.3.3 谱密度的性质 177

7.3.4 白噪声 180

7.3.5 互谱密度及其性质 181

习题7.3 181

7.4 线性系统对平稳过程的响应 182

7.4.1 线性系统的数学描述 182

7.4.2 随机过程通过线性系统 184

习题7.4 188

本章小结 188

综合练习题七 189

第三篇 数理统计 197

第8章 数理统计的基本概念与采样分布 197

8.1 总体、样本及统计量 197

习题8.1 199

8.2 三个重要分布 200

8.2.1 X2分布 200

8.2.2 t分布 201

8.2.3 F分布 202

习题8.2 204

8.3 采样分布定理 204

习题8.3 207

本章小结 208

综合练习题八 209

第9章 参数估计 211

9.1 矩估计与最大似然估计 211

9.1.1 矩估计 211

9.1.2 最大似然估计 213

习题9.1 217

9.2 点估计的评选标准 218

习题9.2 220

9.3 区间估计 221

9.3.1 置信区间 221

9.3.2 建立置信区间的一般方法 222

9.3.3 正态总体期望与方差的区间估计 223

习题9.3 229

本章小结 230

综合练习题九 231

第10章 假设检验 234

10.1 假设检验的基本思想与基本概念 234

10.1.1 假设检验的基本思想与基本概念 234

10.1.2 两类错误 235

习题10.1 237

10.2 正态总体期望与方差的假设检验 237

10.2.1 方差已知，期望的检验——U检验 237

10.2.2 方差未知，期望的检验——t检验 240

10.2.3 单个正态总体方差的检验——X2检验 243

10.2.4 两个正态总体方差的检验——F检验 244

习题10.2 245

10.3 总体分布的拟合优度检验 246

10.3.1 总体为离散型的情况 246

10.3.2 总体为连续型的情况 250

习题10.3 252

本章小结 253

综合练习题十 255

附录 258

习题答案 273