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第一部分　最优控制理论的数学基础 3

第1章　拓扑学基础 3

1.1　集合论基本记号 3

1.2　映射 4

1.2.1　映射的基本概念 4

1.2.2　象集映射与逆象映射 5

1.2.3　映射的乘积 5

1.3　点集的势 6

1.4　拓扑空间 7

1.4.1　拓扑空间 7

1.4.2　连续映射 9

1.4.3　度量空间 10

第2章　测度论与泛函分析基础 13

2.1　测度与积分 13

2.1.1　测度与广义测度 13

2.1.2 可测函数 17

2.1.3 可测函数的积分及其性质 18

2.1.4　Ladon-Nikodym导数 21

2.1.5　复值测度与积分 22

2.2　线性拓扑空间 23

2.2.1　线性空间 23

2.2.2　线性算子 25

2.2.3　赋范空间 26

2.2.4　内积空间 27

2.2.5　线性拓扑空间 28

2.3　线性算子与线性泛函基本理论 30

2.3.1　线性拓扑空间上的算子与泛函 30

2.3.2　线性泛函与线性算子基本定理 31

2.3.3　共轭算子及其性质 33

2.3.4　算子空间与收敛性 35

2.3.5　线性算子的谱 36

2.4　对偶空间、自反性与凸性 38

2.4.1　弱拓扑与弱星拓扑 38

2.4.2　典范映射与自反性 40

2.4.3　赋范空间与对偶空间的凸性 42

2.5　向量值函数 42

2.5.1　可测性与Bochner积分 42

2.5.2 空间Lp（Ω；X） 44

2.5.3　连续性与可微性 46

2.5.4　算子值解析函数 48

2.6　线性算子半群理论 49

2.6.1　Co半群 49

2.6.2 半群的生成与逼近 52

2.6.3 可微半群与解析半群 52

2.6.4　发展算子与发展方程 53

第3章　广义函数与Sobolev空间 57

3.1　广义函数空间 57

3.1.1　基本空间与广义函数空间 57

3.1.2　广义函数的导数 60

3.1.3　光滑函数与广义函数的乘法 61

3.2　Sobolev空间 61

3.2.1　空间Wm,p（Ω） 61

3.2.2　空间W-m,p′（Ω） 64

3.2.3　一般的Sobolev空间 66

3.3　嵌入定理 66

3.3.1　嵌入定理 67

3.3.2　迹定理 68

第4章　最优控制问题概述 70

4.1　最优控制问题的一般提法 70

4.1.1　控制问题的一般概念 70

4.1.2　时滞系统 73

4.1.3　最优控制问题的一般提法 74

4.2　最大值原理 75

4.2.1　半线性发展系统的最大值原理 75

4.2.2　拟线性时滞抛物系统的最大值原理 77

4.2.3　约束最大值原理 83

4.3　Filippov引理与Ekeland变分原理 86

4.3.1　Filippov引理 86

4.3.2　Ekeland变分原理 88

第二部分　最高阶偏导数具有时滞的变分不等式的最优控制 91

第5章　引言 91

5.1　引例 91

5.2　相关问题的研究概况 92

5.3　极大单调算子与变分不等式 94

5.3.1　极大单调算子 94

5.3.2　变分不等式 97

5.3.3　问题概述 98

第6章　时滞变分不等式的可解性 100

6.1　状态方程与基本假设 100

6.1.1　时滞算子 100

6.1.2　时滞变分不等式 103

6.1.3　基本假设 105

6.2　逼近系统 108

6.2.1　光滑逼近族与逼近系统 108

6.2.2　逼近解族的一致有界性 109

6.3　解的存在唯一性与解对初值的连续依赖性 112

6.4　解对参数的连续依赖性 120

第7章　时滞变分不等式的最优控制 124

7.1　问题的提法 124

7.1.1　模型与假设 124

7.1.2　问题的提法 126

7.1.3　指标泛函的基本特性 126

7.2　最优控制的存在性 128

7.3　对偶方程 130

7.3.1　逼近控制问题 131

7.3.2　逼近控制问题的轨线变分与对偶方程 132

7.3.3　问题（C）的对偶方程 134

7.4　最大值原理 138

第三部分　一个约束最优控制问题的显式解 145

第8章 在逐点状态约束下一个时间最优控制问题的显式解 145

8.1　引言 145

8.2　问题的状态空间提法 147

8.3　问题（P）的转化 148

8.4　问题（RT）的最优控制 153

8.5　问题（P）的最优控制 158

参考文献 162