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第一章 集合与函数 1

1.1集合及其运算 1

1.1.1集合的概念 1

1.1.2若干逻辑记号 2

1.1.3集合的相等与包含关系 4

1.1.4集合的运算 4

1.1.5集族 5

1.1.6集合的直积（集） 6

习题1.1 6

1.2常用不等式举例 7

习题1.2 7

1.3实数集及其确界 8

1.3.1邻域 8

1.3.2数集的上界与下界 9

1.3.3数集的上确界与下确界 9

习题1.3 12

1.4映射与函数 12

1.4.1映射与函数的概念 12

1.4.2函数的表示 13

1.4.3函数的几种特性 14

1.4.4函数的运算 17

1.4.5初等函数 19

习题1.4 19

第二章 极限与连续 22

2.1数列极限 22

2.1.1数列极限的概念 22

2.1.2收敛数列的性质 25

2.1.3数列极限的运算 27

2.1.4数列极限的存在性条件 33

习题2.1 40

2.2函数极限 42

2.2.1函数极限的概念 42

2.2.2函数极限存在性条件 45

2.2.3函数极限的性质 48

2.2.4函数极限的运算 49

2.2.5两个重要极限 51

2.2.6无穷小量及无穷大量的阶的比较 55

习题2.2 57

2.3函数的连续性 59

2.3.1函数连续的概念 60

2.3.2函数连续的性质 62

2.3.3连续函数的运算 63

2.3.4初等函数的连续性 65

2.3.5闭区间上的连续函数的性质 66

习题2.3 69

第三章 实数及连续性 72

3.1实数的基本定理 72

3.1.1闭区间套定理 72

3.1.2有限覆盖定理 74

3.1.3致密性定理 75

习题3.1 77

3.2实数系基本定理的等价性 77

习题3.2 79

3.3.实数系的连续性—— Dedekind分割原理 80

第四章 导数与微分 84

4.1导数概念 84

4.1.1导数概念的引人 84

4.1.2导数定义 85

4.1.3基本初等函数的导数 90

习题4.1 91

4.2导数的计算 93

4.2.1导数的四则运算 93

4.2. 2复合函数求导 94

4.2.3反函数求导 98

4.2.4隐函数与参数方程求导 99

习题4.2 102

4.3微分 104

4.3.1微分概念 104

4.3.2微分的计算 106

习题4.3 107

4.4高阶导数与高阶微分 108

4.4.1高阶导数 108

4.4.2高阶微分 115

习题4.4 116

第五章 微分中值定理及其应用 118

5.1微分中值定理 118

5.1.1 Fermat引理和Rolle中值定理 118

5.1.2 Lagrange中值定理和Cauehy中值定理 122

习题5.1 128

5.2 L’Hospital法则 129

习题5.2 135

5.3 Taylor公式 136

5.3.1带Peano余项的Taylor公式 137

5.3.2带Lagrange余项的Taylor公式 141

习题5.3 144

5.4函数的单调性与极值 145

5.4.1函数的单调性 145

5.4.2极值与最值 149

习题5.4 155

5.5凸函数 158

5.5.1函数的凸性与拐点 158

5.5.2凸函数的性质 162

5.5.3 Jensen不等式 163

习题5.5 165

5.6函数作图 166

5.6.1曲线的渐近线 167

5.6.2函数作图 168

习题5.6 171

第六章 不定积分 173

6.1不定积分的概念及性质 173

6.1.1不定积分的概念 173

6.1.2不定积分表与运算法则 174

习题6.1 177

6.2换元积分法和分部积分法 177

6.2.1第一换元积分法 177

6.2.2第二换元积分法 180

6.2.3分部积分法 182

习题6.2 186

6.3几类特殊的初等函数的积分 187

6.3.1有理函数的不定积分 187

6.3.2可有理化函数的不定积分 189

习题6.3 193

第七章 定积分 195

7.1定积分概念 195

7.1.1问题的引出 195

7.1.2定积分定义 197

习题7.1 199

7.2函数可积的条件 200

7.2.1可积的必要条件 200

7.2.2可积的充要条件 200

7.2.3常见的可积函数类 204

习题7.2 206

7.3定积分的基本性质 207

7.3.1运算的基本性质 207

7.3.2可积必绝对可积 211

7.3.3积分第一中值定理 212

7.3.4变上（下）限积分函数 213

习题7.3 214

7.4微积分基本定理（Newton-Leibniz公式） 215

习题7.4 217

7.5定积分的计算 218

7.5.1换元积分法 218

7.5.2分部积分法 220

习题7.5 222

7.6积分第二中值定理和Riemann引理 224

7.6.1积分第二中值定理 224

7.6.2 Riemann引理 226

习题7.6 228

7.7定积分的应用 228

7.7.1平面图形的面积 229

7.7.2由平行截面面积求立体体积 231

7.7.3平面曲线的弧长与曲率 233

7.7.4旋转曲面的面积 236

7.7.5定积分在物理上的若干应用 238

习题7.7 243

第八章 广义积分 246

8.1无穷积分 246

8.1.1无穷积分的概念 246

8.1.2无穷积分的性质与计算 248

8.1.3无穷积分的敛散性判别法 250

习题8.1 260

8.2瑕积分 262

8.2.1瑕积分的概念 262

8.2.2瑕积分的性质与计算 263

8.2.3瑕积分的敛散性判别法 265

8.2.4.Euler积分与Froullani积分 269

习题8.2 271

答案与提示 273

索引 297