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第七章 向量代数与空间解析几何 1

第一节 向量及其线性运算 1

一、向量的概念 1

二、向量的线性运算 2

习题7-1 5

第二节 空间直角坐标系与向量的坐标表示 5

一、空间直角坐标系 5

二、空间两点间的距离 6

三、向量的坐标表示 7

四、向量的模与方向余弦 8

习题7-2 10

第三节 向量的乘法运算 10

一、向量的数量积 10

二、向量的向量积 12

三、向量的混合积 14

习题7-3 16

第四节 平面与直线 16

一、平面及其方程 17

二、直线及其方程 20

习题7-4 26

第五节 空间曲面与曲线 27

一、曲面方程的概念 27

二、柱面 28

三、旋转曲面 29

四、空间曲线及其方程 31

五、空间曲线在坐标面上的投影 32

习题7-5 34

第六节 二次曲面 35

一、椭球面 35

二、双曲面 36

三、抛物面 37

习题7-6 38

总习题七 38

第八章 多元函数微分法及其应用 40

第一节 多元函数的基本概念 40

一、平面点集 40

二、多元函数的概念 42

三、二元函数的图像 43

四、多元函数的极限 44

五、多元函数的连续性 46

习题8-1 48

第二节 偏导数 49

一、偏导数及其计算 49

二、偏导数的几何意义 52

三、高阶偏导数 53

习题8-2 56

第三节 全微分 57

一、全微分的概念 57

二、全微分的应用 63

习题8-3 64

第四节 复合函数的求导法则 66

一、复合函数的链导法则 66

二、全微分形式不变性 71

习题8-4 72

第五节 隐函数的微分法 74

一、一个方程确定的隐函数 74

二、方程组确定的隐函数 76

习题8-5 80

第六节 多元函数微分法在几何上的应用 80

一、空间曲线的切线及法平面 81

二、曲面的切平面及法线 83

习题8 -6 85

第七节 方向导数与梯度 86

一、方向导数 86

二、梯度 89

习题8-7 91

第八节 多元函数的极值 93

一、多元函数的极值 93

二、多元函数的最大值与最小值 96

三、条件极值 拉格朗日乘数法 97

习题8-8 100

总习题八 101

第九章 重积分 103

第一节 二重积分 103

一、实例 103

二、二重积分的定义及性质 105

三、二重积分的计算 108

四、二重积分的换元法 122

习题9-1 124

第二节 三重积分 127

一、实例 128

二、三重积分的概念 128

三、f（x，y，z）在空间有界闭区域Ω上的三重积分的存在条件及性质 129

四、三重积分的计算 130

五、三重积分的换元法 142

习题9-2 142

第三节 重积分的应用 144

一、质点系的质心、转动惯量和引力 144

二、平面薄片和空间物体的质心、转动惯量和引力 145

习题9-3 149

总习题九 150

第十章 曲线积分与曲面积分 152

第一节 第一型曲线积分 152

一、实例 152

二、第一型曲线积分的定义 153

三、利用第一型曲线积分的定义求空间柱面的表面积 154

四、第一型曲线积分的计算法 155

习题10-1 161

第二节 第二型曲线积分 162

一、第二型曲线积分的定义 162

二、第二型曲线积分的计算法 165

习题10-2 169

第三节 格林公式 170

一、格林公式（Green公式） 170

二、平面曲线的第二型曲线积分与路径无关的条件 175

三、格林公式导出的相关物理学中的概念及性质 181

四、格林公式的另一种形式及其在物理上的应用 184

习题10-3 185

第四节 第一型曲面积分 187

一、实例 187

二、第一型曲面积分的定义 187

三、第一型曲面积分的计算法 188

习题10-4 196

第五节 第二型曲面积分 197

一、基本概念 197

二、实例 199

三、第二型曲面积分的定义 200

四、第二型曲面积分的计算法 202

习题10-5 207

第六节 高斯公式 208

一、高斯公式（Gauss公式） 208

二、散度的定义及其物理意义 212

三、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 214

习题10 -6 215

第七节 斯托克斯公式 216

一、斯托克斯定理（Stockes定理） 216

二、旋度的定义及其物理意义 220

三、空间向量场的几个等价条件 222

习题10-7 224

总习题十 224

第十一章 无穷级数 227

第一节 数项级数 227

一、数项级数的基本概念 228

二、无穷级数的基本性质 229

习题11-1 232

第二节 正项级数 233

习题11-2 241

第三节 一般项级数 242

一、交错级数 242

二、级数的绝对收敛与条件收敛 244

三、绝对收敛级数的性质 246

习题11-3 249

第四节 幂级数 250

一、函数项级数的概念 250

二、幂级数的基本概念 251

三、幂级数的运算 255

四、幂级数的性质 256

习题11 -4 259

第五节 函数展开成幂级数 260

一、泰勒级数 260

二、函数展开成幂级数 262

习题11 -5 265

第六节 函数幂级数展开式的应用 266

一、近似计算 266

二、欧拉公式 267

习题11 -6 268

第七节 傅里叶级数 268

一、三角级数 268

二、以2π为周期的函数的傅里叶级数 270

三、奇偶函数的傅里叶级数 274

四、周期为2l的周期函数的傅里叶级数 277

习题11 -7 279

总习题十一 280

第十二章 微分方程 282

第一节 微分方程的基本概念 282

习题12-1 285

第二节 可分离变量方程 285

习题12-2 287

第三节 齐次方程 288

一、齐次方程 288

二、dy/dx=f（ax+by+c/a1x+b1y+c1）型微分方程的解法 290

习题12-3 291

第四节 一阶线性微分方程 292

一、线性方程 292

二、伯努利方程 294

习题12-4 296

第五节 全微分方程 296

习题12-5 298

第六节 一阶微分方程应用和举例 299

习题12-6 303

第七节 可降阶的高阶微分方程 303

一、y″（x） =f（x）型的微分方程 304

二、F（x，y′，y″）=0型的微分方程 304

三、F（y，y′，y″）=0型的微分方程 306

四、恰当导数方程 308

习题12-7 309

第八节 二阶线性方程 309

一、二阶线性齐次方程解的结构 310

二、二阶线性非齐次方程解的结构 313

三、常数变易法求二阶线性非齐次方程的特解 314

习题12-8 316

第九节 二阶常系数齐次线性方程解法 316

习题12-9 320

第十节 二阶常系数线性非齐次方程解法 320

一、f（x） =pm（x） eαx型 321

二、f（x）=eαx[Pm（x）cos βx+Pn（x） sin β3x ]型 323

习题12-10 325

第十一节 欧拉方程 326

习题12-11 327

第十二节 线性微分方程组 327

习题12-12 330

第十三节 微分方程的幂级数解法 331

习题12-13 332

总习题十二 332