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第一章 向量代数与空间解析几何 1

第一节　向量的概念及向量的表示 1

一、向量的基本概念 1

二、空间直角坐标系及向量的坐标表示式 5

第二节 向量的数量积、向量积及混合积 12

一、向量的数量积 12

二、向量的向量积 16

三、向量的混合积 18

第三节　平面及其方程 21

一、平面及其方程 21

二、两平面间的夹角 24

三、点到平面的距离 26

第四节　空间直线及其方程 27

一、空间直线的方程 27

二、直线与直线及直线与平面的夹角 29

三、平面束方程及点到直线的距离 31

第五节　空间曲面、空间曲线及其方程 34

一、曲面及其方程 34

二、空间曲线及其方程 38

第六节　二次曲面的标准方程 42

一、椭球面 42

二、双曲抛物面 44

三、椭圆抛物面 45

四、单叶双曲面 45

五、双叶双曲面 46

第二章　多元函数微分学 48

第一节　多元函数的概念 48

一、区域 48

二、多元函数 52

三、多元函数的几何表示 54

第二节　多元函数的极限与连续性 54

一、多元函数的极限 54

二、多元函数的连续性 58

三、有界闭区域上连续函数的性质 59

四、二元函数的累次极限 60

第三节　偏导数 63

一、多元函数的偏导数 63

二、二元函数偏导数的几何意义 67

三、偏导数与连续的关系 68

第四节　全微分 70

一、全微分 70

二、全微分的运算法则 75

三、微分中值定理 76

第五节　多元复合函数的求导法则 78

一、链导法则 78

二、全微分形式的不变性 82

第六节　隐函数的导数 84

一、一个方程的情形 84

二、方程组的情形 87

第七节　高阶偏导数与高阶微分 92

一、高阶偏导数 92

二、高阶微分 98

第八节　方向导数与梯度 100

一、方向导数 100

二、梯度 103

第三章　多元函数积分学 106

第一节　二重积分 106

一、二重积分的概念 106

二、二重积分的性质 109

三、二重积分的计算 110

第二节　三重积分 123

一、三重积分的概念与性质 123

二、三重积分的计算 124

第三节　广义二重积分 135

一、无界区域上的二重积分 135

二、含瑕点的二重积分 137

第四节　对弧长的曲线积分 139

一、对弧长的曲线积分的概念 139

二、对弧长的曲线积分的计算 141

第五节　对面积的曲面积分 144

一、对面积的曲面积分的概念 144

二、对面积的曲面积分的计算 145

第六节　黎曼积分 149

一、黎曼积分的概念 149

二、黎曼积分的性质 151

第四章 多元函数微积分学的应用 155

第一节　多元函数的泰勒公式 155

第二节　空间曲线的切线与法平面方程 159

第三节 曲线的弧长与平面曲线族的包络 162

一、曲线的弧长 162

二、平面曲线族的包络 163

第四节　曲面的切平面与法线方程 167

一、曲面的切平面与法线方程 167

二、二元函数全微分的几何意义 171

第五节　无约束极值与有约束极值 172

一、无约束极值 172

二、函数的最大值和最小值 174

三、有约束极值 177

第六节　平面图形及曲面的面积 182

一、平面图形的面积 183

二、曲面面积 185

第七节　几何体的体积 189

第八节　多元函数积分学在物理中的应用 192

一、物体的质量 192

二、重心和形心 194

三、转动惯量 198

四、引力 201

第五章　对坐标的曲线积分和曲面积分 205

第一节　对坐标的曲线积分 205

一、对坐标的曲线积分的概念 205

二、对坐标的曲线积分的计算 209

三、两类曲线积分的联系 214

第二节　格林公式 217

一、格林公式 217

二、平面上曲线积分与路径无关的条件 221

三、原函数与全微分方程举例 227

第三节　对坐标的曲面积分 232

一、双侧曲面 232

二、对坐标的曲面积分的概念 234

三、对坐标的曲面积分的计算 237

四、两类曲面积分之间的联系 240

第四节 高斯公式与斯托克斯公式 242

一、高斯公式 242

二、斯托克斯公式 245

第六章　常微分方程 251

第一节　微分方程的基本概念 251

第二节　一阶微分方程 255

一、变量可分离方程 255

二、齐次方程 257

三、可化为齐次方程的方程 259

四、一阶线性微分方程 260

五、伯努利方程 262

六、全微分方程 263

第三节　可降阶的高阶微分方程 268

一、y（n）＝f（x）型的微分方程 268

二、y″＝f（x,y′）型的微分方程 269

三、y″＝f（y,y′）型的微分方程 272

第四节　线性微分方程解的结构 274

第五节　高阶常系数线性微分方程 277

一、常系数齐次线性微分方程 277

二、常系数非齐次线性微分方程 281

第六节　欧拉方程 287

第七节　线性微分方程的幂级数解法 289

第八节　常系数线性微分方程组 294

第七章　向量函数与场论 298

第一节　向量函数的极限与连续性 298

一、向量函数的概念 298

二、向量函数的极限与连续性 299

第二节 向量函数的解析运算 301

一、向量函数的导数和偏导数 302

二、向量函数的微分 306

三、向量函数的积分 308

第三节　数量场及其物理量 310

一、数量场 310

二、数量场的方向导数和梯度 312

第四节　向量场及其物理量 317

一、向量场 317

二、通量与散度 318

三、环量与旋度 321

第五节　几个常见的重要场 324

一、有势场 324

二、无源场 326

三、调和场 327

第八章　含参变量的积分 329

第一节　含参变量积分的概念与运算 329

第二节　含参变量的无穷积分 334

一、含参变量的无穷积分的敛散性 334

二、含参变量的无穷积分的其他性质 337

第三节　Г函数和B函数 341

一、Г函数 341

二、В函数 344

第四节　含参变量积分的应用举例 347

习题参考答案 352