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预备知识 1

第一节 集合 1

一、集合的定义 1

二、集合的运算 1

三、区间与邻域 2

四、问题与例题 3

第二节 映射 4

一、映射的定义及其运算 4

二、关系 5

三、问题与例题 5

第三节 一元函数 6

一、概念 6

二、函数的初等性质 7

三、函数的运算 7

四、初等函数 8

五、问题与例题 8

第一章 极限与连续 14

第一节 数列的极限 14

一、数列极限的定义 14

二、重要极限 14

三、极限的性质 14

四、问题与例题 15

第二节 函数极限 17

一、函数极限的概念 17

二、重要极限 18

三、极限的性质 18

四、极限的运算法则 19

五、问题与例题 19

第三节 两个准则与两个重要极限 23

一、数列极限中的两个重要准则 23

二、两个重要极限 23

三、问题与例题 25

第四节 无穷小量与无穷大量 28

一、无穷小量与无穷大量的定义 28

二、无穷小量与无穷大量的性质 29

三、无穷小量与无穷大量的比较 29

四、等价无穷小公式 30

五、问题与例题 30

第五节 函数的连续性 32

一、连续性定义 32

二、连续函数的运算性质 33

三、闭区间上连续函数 34

四、问题与例题 34

第六节 综合问题 38

一、渐近线 38

二、数列极限的问题 39

三、关于函数极限问题 44

四、关于连续的问题 45

第二章 一元函数微分学 48

第一节 导数的概念 48

一、导数的定义和意义 48

二、可导与连续的关系 48

三、定义用处的问题与例题 49

第二节 导数的计算 53

一、函数的求导问题 53

二、求导的例题 54

三、导数的应用 56

第三节 高阶导数 59

一、定义 59

二、低阶导数的计算——一阶一阶求 59

三、n阶导数y（n）的计算 61

四、求y（n）（x0）的方法 62

第四节 微分 64

一、微分的定义 64

二、微分公式与法则 64

三、微分的意义 64

四、微分的计算与应用问题 65

第五节 微分中值定理 67

一、中值定理的基本内容 67

二、中值定理的推广形式 68

三、中值定理的作用与问题 68

第六节 泰勒公式 76

一、泰勒公式 76

二、泰勒公式的用处与例题 77

第七节 洛必大法则 81

一、洛必大法则 81

二、用洛必大法则求极限的例子 82

三、从洛必大法则导出的几个重要极限 83

四、用洛必大法则的其它问题 84

第八节 函数性质的讨论 85

一、函数的单调性问题 85

二、曲线的凹凸与拐点问题 91

三、关于函数极值的应用问题和其它相关例题 94

四、曲线的曲率 97

第三章 一元函数的积分学 99

第一节 原函数与不定积分 99

一、原函数与不定积分的概念 99

二、与不定积分有关的例题 99

第二节 不定积分的计算 100

一、不定积分的计算公式 100

二、积分方法 102

三、有理函数的不定积分 110

第三节 定积分的概念 114

一、定义 114

二、定积分的性质 115

三、微积分基本定理 116

四、问题与例题 116

第四节 定积分的计算 122

一、定积分的依据 122

二、定积分中的特殊问题 125

三、关于积分中值定理 133

第五节 定积分的应用 134

一、元素法 134

二、几何应用 135

三、定积分的物理应用 142

四、定积分的平均值意义 144

第六节 反常积分（广义积分） 146

一、无穷限的反常积分 146

二、无界函数的反常积分 148

第四章 微分方程 150

第一节 微分方程的基本概念 150

一、基本概念 150

二、关于微分方程概念的问题 150

第二节 一阶微分方程 152

一、可分离变量的微分方程 152

二、齐次方程 153

三、线性微分方程 157

四、一阶微分方程的一般解法——凑全微分方法 159

第三节 可降阶的二阶微分方程 161

一、y″＝f（x）型的微分方程 161

二、F（x，y′，y″）＝0型的微分方程 161

三、F（y，y′，y″）＝0型的微分方程 162

四、可降阶微分方程的参数方程解法 164

第四节 高阶线性微分方程 164

一、高阶线性微分方程的概念 164

二、常系数线性微分方程的求解 166

三、欧拉方程 170

第五节 微分方程应用问题 171

一、几何问题 171

二、力学问题 173

三、溶度问题 174

第五章 向量代数与空间解析几何 176

第一节 向量代数 176

一、点，向量，坐标 176

二、向量的运算 177

三、有关向量代数的问题 179

第二节 平面与直线 183

一、平面的决定方法和平面方程 183

二、有关平面的问题 184

三、直线的决定方法和直线方程 185

四、与直线有关的问题 186

五、平面，直线的例题与问题 187

第三节 曲面与曲线 192

一、曲面方程的建立 192

二、二次曲面的分类 196

三、曲线方程 197

四、曲面束——曲线在坐标面上的投影 198

第六章 多元函数微分学 200

第一节 多元函数的基本概念 200

第二节 多元函数的极限与连续性 202

一、多元函数的极限 202

二、多元函数的连续性 203

三、多元函数的极限的计算 203

第三节 多元函数的偏导数 205

一、多元函数偏导数的讨论 205

二、偏导数的计算 207

第四节 全微分 214

一、全微分的定义 214

二、全微分的计算 215

三、可微性的讨论 216

四、全微分的应用 218

第五节 方向导数与梯度 219

一、方向导数的定义 219

二、梯度 220

三、有势场与梯度场 220

第六节 多元函数微分学的应用 222

一、空间曲线的切线与法平面 222

二、曲面的切平面与法线 224

三、多元函数的极值 232

第七章 重积分 241

第一节 重积分的定义与性质 241

一、重积分的定义 241

二、重积分的性质 242

第二节 二重积分的计算 246

一、利用直角坐标 246

二、利用极坐标 249

三、二重积分的坐标变换 250

四、关于二次积分问题 253

五、利用二重积分解决定积分问题 257

第三节 三重积分的计算 260

一、直角坐标与柱面坐标 260

二、球面坐标 262

三、三重积分的变换代换 265

四、关于三重累次积分 268

第四节 重积分的应用 271

一、曲面面积的计算 271

二、平面区域与立体区域物理量的计算 275

第八章 曲线积分与曲面积分 284

第一节 对弧长与面积的曲线积分与曲面积分（第一类曲线积分与曲面积分） 284

一、第一类曲线积分的定义 284

二、第一类曲面积分的定义 285

三、第一类曲线积分的计算 286

四、第一类曲面积分的计算 290

第二节 向量值函数对坐标元的曲线积分与曲面积分（第二类曲线积分与曲面积分） 293

一、向量值函数对坐标元的曲线积分（第二类曲线积分）的背景、定义 293

二、第二类曲线积分的计算 294

三、Green公式及其应用 299

四、第二类曲面积分的背景与定义 309

五、第二类曲面积分的计算 310

六、高斯公式 313

七、场论初步 319

第九章 无穷级数 327

第一节 数项级数 327

一、无穷级数的性质 327

二、正项级数判别法 331

三、一般级数的绝对收敛与条件收敛 337

第二节 幂级数 341

一、幂级数的收敛域 342

二、幂级数的运算与性质 344

三、函数的泰勒级数 349

第三节 傅里叶级数 357

一、内积与三角正交系 357

二、傅里叶级数 360

三、傅里叶系的性质，正弦级数与余弦级数 365

四、一般周期函数的傅里叶级数 369

五、傅里叶级数的应用 374