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第1章　数学预备知识 1

1.1　数学物理方程简介 1

1.2　正交函数族 3

1.3　δ函数 6

1.3.1　δ函数的定义 6

1.3.2　δ函数的性质 7

1.3.3　δ函数的辅助函数 9

1.4　正交曲面坐标系 10

1.4.1　正交曲面坐标系 10

1.4.2　梯度、散度及拉氏算符表达式 11

1.4.3　球坐标下的梯度、散度和拉氏算符表达式 12

1.4.4　柱坐标下梯度、散度和拉氏算符表示式 13

1.5　二阶线性常微分方程的级数解法 13

1.5.1　二阶线性齐次常微分方程的常点与奇点 13

1.5.2　在常点附近LW=0的级数解 14

1.5.3　z0是P（z）和Q（z）的一阶极点时LW=0在z0的邻域的级数解 15

1.5.4　已知LW=0的一个解W1≠0，求与W1线性无关的另一个解W2 18

1.5.5 在正则奇点附近LW=W″+PW′+QW＝0的级数解 20

习题1 22

第2章　傅里叶变换 23

2.1　周期函数的傅里叶展开——傅里叶级数 23

2.1.1　周期函数的傅里叶级数 23

2.1.2　奇函数与偶函数的傅里叶级数 24

2.1.3　复指数形式的傅里叶级数 24

2.2　有限区间上非周期函数的傅里叶级数 26

2.3　傅里叶变换 29

2.3.1　傅里叶变换 29

2.3.2　多重傅里叶变换 32

2.3.3　傅里叶变换的性质 33

习题2 36

第3章　拉普拉斯变换 38

3.1　拉普拉斯变换的定义 38

3.1.1　从傅里叶变换到拉普拉斯变换 38

3.1.2　一些常见函数的拉普拉斯变换 39

3.2　拉普拉斯变换的基本性质 41

3.3　拉普拉斯逆变换 43

3.3.1　部分分式展开前的准备 44

3.3.2　部分分式展开法 44

3.3.3　用留数法求拉普拉斯逆变换 48

3.4　应用拉普拉斯变换解常微分方程 49

习题3 52

第4章　数学物理方程导论 55

4.1　有关数学物理方程的一些基本概念 55

4.1.1　数学物理方程和它的阶 55

4.1.2　线性、非线性、拟线性，齐次与非齐次 56

4.1.3　通解 56

4.1.4　线性微分算子 57

4.1.5　叠加原理 58

4.2　数学物理方程的导出 59

4.2.1　弦的横振动方程 60

4.2.2　均匀杆的纵振动方程 61

4.2.3　电报方程 62

4.2.4　二维波动方程 63

4.2.5　热传导方程 64

4.2.6　扩散方程 67

4.3　边界条件与初始条件 68

4.3.1　初始条件 69

4.3.2　边界条件 70

4.3.3　第一类边界条件 70

4.3.4　第二类边界条件 71

4.3.5　第三类边界条件 72

4.3.6　衔接条件 74

4.3.7　例题 75

4.4　二阶线性偏微分方程的分类 78

4.4.1　两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类 78

4.4.2　多于两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类 83

4.5　一维波动方程的达朗贝尔解 84

4.5.1　一维波动方程utt-a2uxx=0的通解 84

4.5.2　无界弦的自由振动问题 84

4.5.3　半无界弦（杆）的自由振动 85

4.5.4　两端固定的有界弦的自由振动 86

4.5.5　一端扰动引起的半无界弦振动 87

4.5.6　无限长弦的强迫振动 88

4.5.7　例题 90

4.6　某些基本定解问题的唯一性定理 92

4.6.1　推广的格林公式 92

4.6.2　定解问题解唯一性的另一种表述 93

4.6.3　三维波动方程定解问题的唯一性 93

4.6.4　热传导方程定解问题的唯一性 94

4.6.5　拉普拉斯方程定解问题的唯一性 95

习题4 96

第5章　分离变量法 99

5.1　齐次方程的分离变量法 99

5.1.1　一维振动方程在第一类齐次边界条件下的分离变量 99

5.1.2　一维振动方程在第二类齐次边界条件下的分离变量 103

5.1.3　一维热传导方程在第一类齐次边界条件下的分离变量 105

5.1.4　一维热传导方程在第二类齐次边界条件下的分离变量 106

5.1.5　例题 107

5.2　非齐次振动方程与输运方程的分离变量 114

5.3　非齐次边界条件下的分离变量 121

5.4　二维泊松方程 133

习题5 135

第6章　正交曲面坐标系中的分离变量 139

6.1　球坐标系与柱坐标系中的分离变量 139

6.1.1　拉普拉斯方程的分离变量 139

6.1.2　波动方程的分离变量 143

6.1.3　输运方程的分离变量 143

6.1.4　亥姆霍兹方程的分离变量 144

6.2　圆内狄利克雷问题 148

习题6 157

第7章　常微分方程的本征值问题 159

7.1　分离变量法与本征值问题 159

7.2　施图姆-刘维尔方程的本征值问题 160

7.2.1　施图姆-刘维尔方程（S-L方程） 160

7.2.2　S-L方程的本征值问题 161

7.2.3　非奇异S-L方程本征值问题的基本性质 163

7.2.4　已知Ly=ly的通解，求本征值与本征函数 163

7.2.5　定理 166

习题7 166

第8章　勒让德多项式 168

8.1　勒让德多项式的定义 168

8.1.1　勒让德方程的本征值与本征函数 169

8.1.2　勒让德多项式 170

8.1.3　勒让德多项式的微分表示——罗德里格斯公式 172

8.1.4　Pl（1）的计算 173

8.2　勒让德多项式的正交性与归一化因子 173

8.2.1　函数族｛Pl（x）｝的正交性 173

8.2.2　正交函数族｛Pl（x）｝的归一化因子 175

8.2.3　Pl（x）的生成公式 176

8.2.4　Pl（x）的递推公式 177

8.2.5　利用递推公式验证Pl（x）满足勒让德方程 179

8.2.6　证明｜Pl（x）｜≤1 179

8.2.7　正交函数族｛Pl（x）｝的完备性 180

8.2.8　傅里叶-勒让德级数 181

8.2.9　勒让德多项式的性质 184

8.3　具有轴对称的物理问题例解 186

8.4　连带勒让德函数 200

8.4.1　连带勒让德函数的定义 200

8.4.2　连带勒让德函数的微分表示 201

8.4.3　连带勒让德函数的正交归一关系 202

8.4.4　广义傅里叶级数 203

8.4.5　连带勒让德函数的递推公式 205

8.5　球函数 206

8.5.1　球函数的定义 206

8.5.2　球函数的正交关系 207

8.5.3　球函数的正交归一化因子 207

8.5.4　以球函数为基函数的广义傅里叶级数 207

8.5.5　加法公式 208

8.5.6　非轴对称下拉普拉斯方程的定解问题 210

习题8 213

第9章　贝塞尔函数 215

9.1　贝塞尔函数的定义 215

9.1.1　可化为贝塞尔方程的常微分方程 215

9.1.2　贝塞尔方程的级数解 216

9.1.3　三类贝塞尔函数 219

9.1.4　贝塞尔函数的递推公式 219

9.2　半奇数阶贝塞尔函数和Jn（x）在x→∞时的渐近表达式 221

9.2.1　半奇数阶的贝塞尔函数Jn+1/2（x） 221

9.2.2　Jv（x）在x→∞时的渐近表达式 222

9.2.3　Jn（x）振荡特性与Jn（x）的零点 224

9.3　Jn（x）的生成公式和积分表达式 225

9.3.1　Jn（x）的生成函数 225

9.3.2　Jn（x）的积分表达式 226

9.3.3　I=？e-axJ0(bx)dx的计算（a,b为常数，且a＞0） 227

9.3.4　加法公式 228

9.4　贝塞尔方程的本征值问题 230

9.4.1　贝塞尔方程对应的施图姆-刘维尔本征值问题 230

9.4.2　本征函数的正交性 232

9.4.3　归一化因子Ni=？rR？(r)dr 233

9.4.4　傅里叶-贝塞尔级数 235

9.4.5　应用举例 237

9.5　球贝塞尔函数 240

9.5.1　球贝塞尔函数 240

9.5.2　球贝塞尔函数在x→0及x→∞的渐近公式 242

9.5.3　球形区域内的本征值问题 242

9.6　修正的贝塞尔函数 245

9.7　利用各种贝塞尔函数解边值问题例解 250

9.7.1　关于球贝塞尔函数的例题 250

9.7.2　关于第二类贝塞尔函数（诺依曼函数）的例题 251

9.7.3　关于第三类贝塞尔函数的例题 253

9.7.4　第一类贝塞尔函数应用于解边值问题 255

9.8　常用公式 267

9.8.1　各种贝塞尔函数 267

9.8.2　递推公式 269

9.8.3　奇异性与渐近展开 269

9.8.4　生成公式与积分表达式 270

9.8.5　加法公式 271

9.8.6　含贝塞尔函数的积分 271

9.8.7　归一化因子（把f（x）在区间［0,a］上作傅里叶-贝塞尔级数展开） 272

习题9 272

第10章　格林函数 276

10.1　格林函数的基本概念 276

10.2　泊松方程的格林函数 277

10.2.1　格林公式 277

10.2.2　调和函数的性质 278

10.2.3　泊松方程的基本积分公式 279

10.2.4　泊松方程的格林函数 280

10.2.5　格林函数的对称性 282

10.2.6　积分公式表 283

10.3　亥姆霍兹方程的格林函数 285

10.3.1　借助格林函数表示原边值问题的解 285

10.3.2　自由格林函数 286

10.4　用镜像法求拉普拉斯方程的格林函数 290

10.4.1　镜像法 290

10.4.2　圆内（或球内）狄氏问题的镜像法 292

10.4.3　例题 293

10.5　热传导方程初值问题的格林函数解法 296

10.5.1　一维热传导方程 296

10.5.2　三维热传导方程 297

10.5.3　三维非齐次热传导定解问题 298

10.6　波动方程初值问题的格林函数解法 300

10.6.1　初始速度不为零的波动方程的格林函数解 300

10.6.2　初始位移不为零的波动方程的格林函数解 302

10.6.3　非齐次波动方程的格林函数解 303

10.6.4　二维波动初值问题的格林函数解法 304

10.7　推广的格林公式 305

10.7.1　伴随算符与自伴算符 305

10.7.2　广义格林公式 306

10.7.3　椭圆型方程第一类边值问题的格林函数及解的积分形式 306

10.7.4　椭圆型方程第二类边值问题的格林函数及解的积分形式 308

10.7.5　抛物型方程的格林函数及解的积分公式 308

10.7.6　双曲型方程的格林函数及解的积分公式 310

习题10 312

第11章　积分变换法与差分法 314

11.1　傅里叶变换法 314

11.2　拉普拉斯变换法 317

11.3　差分法 320

习题11 325

附录A　傅里叶变换表 326

附录B　拉普拉斯变换表 329

附录C　Г函数 332

附录D　高斯函数与误差函数 335

附录E　贝塞尔函数J0（x）与J1（x）数表 337

附录F　勒让德多项式与连带勒让德函数 339

附录G　一些常见的数理方程边值问题解一览表 341

习题答案 349

参考文献 364