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第1章 引论 1

1.1　基本符号 1

1.2　数值线性代数的标准问题 1

1.3　一般的方法 2

1.3.1　矩阵分解 2

1.3.2　扰动理论和条件数 3

1.3.3　舍入误差对算法的影响 4

1.3.4　分析算法的速度 4

1.3.5　数值计算软件 5

1.4　例：多项式求值 6

1.5　浮点算术运算 8

1.6　再议多项式求值 13

1.7　向量和矩阵范数 17

1.8　第1章的参考书目和其他话题 20

1.9　第1章问题 21

第2章 线性方程组求解 26

2.1　概述 26

2.2　扰动理论 26

2.3　高斯消元法 32

2.4　误差分析 38

2.4.1　选主元的必要性 39

2.4.2　高斯消元法正式的误差分析 40

2.4.3　估计条件数 44

2.4.4　实际的误差界 47

2.5　改进解的精度 51

2.5.1　单精度迭代精化 53

2.5.2　平衡 53

2.6　高性能分块算法 54

2.6.1　基本线性代数子程序（BLAS） 56

2.6.2　如何优化矩阵乘法 57

2.6.3　使用3级BLAS改组高斯消元法 62

2.6.4　更多的并行性和其他性能问题 65

2.7　特殊的线性方程组 66

2.7.1　实对称正定矩阵 66

2.7.2　对称不定矩阵 68

2.7.3　带状矩阵 69

2.7.4　一般的稀疏阵 72

2.7.5　不超过O（n2）个参数的稠密矩阵 79

2.8　第2章的参考书目和其他的话题 80

2.9　第2章问题 80

第3章 线性最小二乘问题 86

3.1　概述 86

3.2　解线性最小二乘问题的矩阵分解 89

3.2.1　正规方程 89

3.2.2　QR分解 90

3.2.3　奇异值分解 93

3.3　最小二乘问题的扰动理论 98

3.4　正交矩阵 100

3.4.1　豪斯霍尔德变换 100

3.4.2　吉文斯旋转 102

3.4.3　正交矩阵的舍入误差分析 104

3.4.4　为什么用正交矩阵 105

3.5　秩亏最小二乘问题 105

3.5.1　用SVD解秩亏最小二乘问题 107

3.5.2　用选主元的QR分解解秩亏最小二乘问题 110

3.6　最小二乘问题解法的性能比较 112

3.7　第3章的参考书目和其他话题 113

3.8　第3章问题 113

第4章 非对称特征值问题 117

4.1　概述 117

4.2　典范型 117

4.3　扰动理论 125

4.4　非对称特征问题的算法 129

4.4.1　幂法 129

4.4.2　逆迭代 131

4.4.3　正交迭代 132

4.4.4　QR迭代 135

4.4.5　使QR迭代有实效 138

4.4.6　海森伯格约化 139

4.4.7　三对角和双对角约化 140

4.4.8　隐式位移的QR迭代 141

4.5　其他的非对称特征值问题 146

4.5.1　正则矩阵束和魏尔斯特拉斯典范型 146

4.5.2　奇异矩阵束和克罗内克典范型 151

4.5.3　非线性特征值问题 154

4.6　小结 155

4.7　第4章参考书目和其他话题 157

4.8　第4章问题 157

第5章 对称特征问题和奇异值分解 164

5.1　概述 164

5.2　扰动理论 166

5.3　对称特征问题的算法 177

5.3.1　三对角QR迭代 178

5.3.2　瑞利商迭代 180

5.3.3　分而治之 182

5.3.4　对分法和逆达代 192

5.3.5　雅可比法 195

5.3.6　性能比较 199

5.4　奇异值分解算法 202

5.4.1　双对角SVD的QR迭代及其变形 204

5.4.2　计算双对角SVD达到高的相对精度 207

5.4.3　SVD的雅可比法 210

5.5　微分方程和特征值问题 215

5.5.1　Toda格子 216

5.5.2　与偏微分方程的关系 220

5.6　第5章参考书目和其他话题 221

5.7　第5章问题 221

第6章 线性方程组迭代方法 225

6.1　概述 225

6.2　迭代法的在线（on-line）帮助 225

6.3　泊松方程 226

6.3.1　一维泊松方程 226

6.3.2　二维泊松方程 229

6.3.3　用克罗内克积表达泊松方程 233

6.4　解泊松方程方法小结 235

6.5　基本迭代法 236

6.5.1　雅可比法 238

6.5.2　高斯-塞德尔法 239

6.5.3　逐次超松弛法 241

6.5.4　模型问题的雅可比、高斯-塞德尔和SOR（ω）法的收敛性 242

6.5.5　雅可比、高斯-塞德尔和SOR（ω）法明细的收敛准则 243

6.5.6　切比雪夫加速和对称SOR(SSOR) 250

6.6　克雷洛夫子空间方法 255

6.6.1　通过矩阵-向量乘法得到关于A的信息 256

6.6.2　利用克雷洛夫子空间Kk解Ax=b 260

6.6.3　共轭梯度法 261

6.6.4　共轭梯度法的收敛性分析 265

6.6.5　预条件 269

6.6.6　解Ax=b的其他克雷洛夫子空间算法 271

6.7　快速傅里叶变换 273

6.7.1　离散傅里叶变换 275

6.7.2　用傅里叶级数解连续模型问题 276

6.7.3　卷积 277

6.7.4　计算快速傅里叶变换 277

6.8　块循环约化 279

6.9　多重网格法 282

6.9.1　二维泊松方程多重网格法概述 284

6.9.2　一维泊松方程的多重网格法详述 287

6.10　区域分解法 297

6.10.1　无交叠方法 297

6.10.2　交叠方法 300

6.11　第6章的参考书目和其他话题 305

6.12　第6章问题 305

第7章 特征值问题的迭代方法 309

7.1　概述 309

7.2　瑞利-里茨方法 310

7.3　精确算术运算的兰乔斯算法 313

7.4　浮点算术运算的兰乔斯算法 318

7.5　选择正交化的兰乔斯算法 323

7.6　选择正交化之外的方法 324

7.7　非对称特征值问题的迭代算法 325

7.8　第7章的参考书目和其他话题 325

7.9　第7章问题 325

参考文献（图灵网站下载） 327

索引 327