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第一章 函数、极限与连续 1

第一节 函数 1

一、集合、区间与邻域 1

二、函数的概念 4

三、函数的几种特性 6

四、反函数 8

第二节 初等函数 10

一、基本初等函数 10

二、复合函数、初等函数 14

三、建立函数关系 14

第三节 数列的极限 16

一、数列的概念 16

二、数列极限的概念 17

三、收敛数列的性质 20

第四节 函数的极限 20

一、当x→∞时函数y=f（x）的极限 21

二、当x→x0时函数y=f（x）的极限 22

三、函数极限的性质 24

第五节 极限运算法则 25

第六节 极限存在准则 两个重要极限 27

一、极限存在准则 28

二、两个重要极限 28

第七节 无穷小与无穷大 30

一、无穷小 30

二、无穷大 31

三、无穷小的比较 32

第八节 函数的连续性与间断点 33

一、函数的连续性 33

二、函数的间断点 36

三、闭区间上连续函数的性质 38

第九节 演示与实验 40

一、数学软件Mathematica使用简介 40

二、用Mathematica作二维图形 44

三、曲线拟合 45

四、用数值与图形方式演示数列极限过程 46

五、用Mathematica内建函数求函数极限 46

六、用两分法求方程在某个区间的根 47

复习题一 48

第二章 导数与微分 50

第一节 导数的概念 50

一、两个引例 50

二、导数的概念 52

三、导数的几何意义 54

四、可导与连续的关系 55

第二节 函数的求导法则 56

一、导数的四则运算 57

二、反函数的导数 59

三、复合函数的求导法则 60

第三节 隐函数的导数 对数求导法 参数方程的求导 63

一、隐函数的导数 63

二、对数求导法 63

三、参数方程确定的函数的导数 64

四、基本初等函数的导数公式 65

第四节 高阶导数 66

第五节 函数的微分 69

一、微分的概念 69

二、微分与导数的关系 70

三、微分的几何意义 71

四、微分公式与运算法则 71

五、微分在近似计算中的应用 73

第六节 演示与实验 74

一、导数的定义 74

二、利用Mathematica求函数的导数 75

三、用微分方法进行数学建模 75

复习题二 78

第三章 中值定理与导数的应用 80

第一节 中值定理 80

一、罗尔中值定理 80

二、拉格朗日中值定理 82

三、柯西中值定理 84

第二节 洛必达法则 85

一、0/0型未定式的极限求法 85

二、∞/∞型未定式的极限求法 87

第三节 泰勒公式 89

第四节 函数单调性的判定 92

第五节 函数的极值及其求法 94

第六节 最大值、最小值问题 97

第七节 曲线的凹凸与拐点 100

第八节 函数图形的描绘 103

一、渐近线 103

二、函数图形的描绘 104

第九节 曲率 106

一、弧微分 106

二、曲率及其计算公式 107

三、曲率圆与曲率半径 109

第十节 导数在经济学中的应用 110

一、边际与边际分析 110

二、弹性与弹性分析 112

第十一节 演示与实验 115

一、拉格朗日中值定理演示 115

二、利用导数对函数单调性、凹凸性和渐近线的分析 116

三、局部极值命令介绍 118

复习题三 119

第四章 不定积分 121

第一节 不定积分的概念与性质 121

一、原函数与不定积分的概念 121

二、基本积分表 123

三、不定积分的性质 124

第二节 换元积分法 127

一、第一类换元法 128

二、第二类换元法 132

第三节 分部积分法 137

第四节 几种特殊类型函数的积分 141

一、有理函数的积分 141

二、三角函数有理式的积分 143

三、简单无理函数的积分 144

第五节 积分表的使用 146

第六节 演示与实验 149

复习题四 150

第五章 定积分 151

第一节 定积分的概念与性质 151

一、两个引例 151

二、定积分的定义 153

三、定积分的几何意义 155

四、定积分的性质 155

第二节 微积分的基本公式 158

一、变上限定积分 158

二、微积分的基本公式 160

第三节 定积分的换元积分法和分部积分法 163

一、定积分的换元积分法 163

二、定积分的分部积分法 165

第四节 广义积分 168

一、无穷区间上的广义积分 168

二、无界函数的广义积分 170

第五节 演示与实验 172

一、定积分的定义 172

二、微积分第一基本定理 173

三、用Mathematica计算定积分 175

复习题五 176

第六章 定积分的应用 177

第一节 平面图形的面积 177

一、元素法 177

二、平面图形面积 178

第二节 体积 183

一、平行截面面积为已知的立体体积 183

二、旋转体的体积 185

第三节 平面曲线的弧长 190

第四节 旋转曲面的表面积 192

第五节 物理上的应用 194

一、功 194

二、液体的静压力 198

第六节 其他应用举例 200

一、由边际函数求原函数 200

二、收入流和支出流的现值与将来值 202

三、消费者剩余和生产者剩余 204

第七节 演示与实验 206

一、近似计算旋转体体积 206

二、利用数学软件求解实际问题 207

复习题六 208

第七章 常微分方程 210

第一节 微分方程的基本概念 210

第二节 可分离变量的微分方程 213

一、可分离变量的微分方程 213

二、齐次方程 215

第三节 一阶线性微分方程 218

一、线性方程 218

二、伯努利方程 221

第四节 可降阶的高阶微分方程 224

一、y（n）=f（x）型的微分方程 224

二、y″=f（x，y′）型的微分方程 224

三、y″=f（y，y′）型的微分方程 225

第五节 二阶常系数齐次线性微分方程 226

一、二阶齐次线性微分方程的解的结构 227

二、二阶常系数齐次线性微分方程的解法 228

第六节 二阶常系数非齐次线性微分方程 232

一、二阶非齐次线性微分方程的解的结构 232

二、二阶常系数非齐次线性方程的解法 233

第七节 演示与实验 236

一、微分方程的符号解法 236

二、微分方程的数值解法 237

复习题七 238

第八章 多元函数微分学 240

第一节 空间解析几何简介 240

一、空间直角坐标系 240

二、向量及其运算 242

三、平面及其方程 247

四、空间直线及其方程 248

五、曲面及其方程 249

六、二次曲面 250

第二节 多元函数的基本概念 252

一、区域 252

二、多元函数的概念 253

三、二元函数的极限与连续 254

第三节 偏导数 256

一、偏导数 256

二、高阶偏导数 260

第四节 全微分及其应用 262

一、全微分的定义 262

二、全微分在近似计算中的应用 264

第五节 多元复合函数、隐函数的微分法及其几何应用 265

一、复合函数的微分法 265

二、隐函数的微分法 267

三、多元函数微分法的几何应用 268

第六节 多元函数的极值及其求法 272

一、多元函数的极值 272

二、多元函数的最大值、最小值 274

三、条件极值与拉格朗日乘数法 275

第七节 演示与实验 278

一、向量及其运算 278

二、空间曲面的绘制 279

三、多元函数的偏导数和全微分的计算 282

复习题八 283

第九章 重积分 285

第一节 二重积分的概念与性质 285

一、二重积分的概念 285

二、二重积分的性质 287

第二节 二重积分的计算 288

一、利用直角坐标计算二重积分 288

二、利用极坐标计算二重积分 292

第三节 三重积分的概念及其计算 297

一、三重积分的概念 297

二、三重积分的计算 298

第四节 重积分的应用 300

一、曲面的面积 300

二、平面薄片的重心 301

三、转动惯量 303

第五节 演示与实验 304

一、二重积分 305

二、三重积分 307

复习题九 308

第十章 无穷级数 310

第一节 常数项级数的概念与性质 310

一、常数项级数的概念 310

二、收敛级数的基本性质 312

第二节 常数项级数的审敛法 315

一、正项级数及其审敛法 315

二、交错级数及其审敛法 318

三、绝对收敛与条件收敛 319

第三节 幂级数 320

一、函数项级数的概念 320

二、幂级数及其收敛性 321

三、幂级数的计算 324

第四节 函数展开成幂级数 326

一、泰勒级数 326

二、函数展开成幂级数 328

第五节 傅里叶级数 332

一、三角级数 三角函数系的正交性 332

二、函数展开成傅里叶级数 333

三、正弦级数和余弦级数 336

四、周期为2l的周期函数的傅里叶级数 339

第六节 演示与实验 341

一、函数展开成泰勒级数与级数求和 341

二、傅里叶级数 342

复习题十 346

附录 积分表 347

习题答案与提示 355

第一章 355

第二章 357

第三章 359

第四章 363

第五章 368

第六章 370

第七章 372

第八章 375

第九章 378

第十章 380