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第1章 函数、极限与连续 1

1.1 函数 2

1.1.1 集合 2

1.1.2 函数的概念 5

1.1.3 函数的几种重要特性 8

1.1.4 复合函数与反函数 9

1.1.5 映射 10

1.1.6 初等函数与非初等函数 11

习题1-1 13

1.2 极限 15

1.2.1 极限概念引例 15

1.2.2 数列的极限 16

1.2.3 自变量趋于无穷大时函数的极限 17

1.2.4 自变量趋于有限值时函数的极限 19

1.2.5 无穷小与无穷大 23

习题1-2 24

1.3 极限的性质与运算 25

1.3.1 极限的几个性质 25

1.3.2 极限的四则运算法则 27

1.3.3 函数极限与数列极限的关系 30

1.3.4 夹逼法则 31

1.3.5 复合运算法则 33

习题1-3 34

1.4 单调有界原理和无理数e 35

1.4.1 单调有界原理 36

1.4.2 极限？(1+1/x)x=e 37

1.4.3 指数函数ex，对数函数lnx，双曲函数 39

习题1-4 41

1.5 无穷小的比较 41

1.5.1 无穷小的阶 41

1.5.2 利用等价无穷小代换求极限 44

习题1-5 45

1.6 函数的连续与间断 45

1.6.1 函数的连续与间断 45

1.6.2 初等函数的连续性 50

习题1-6 53

1.7 闭区间上连续函数的性质 54

1.7.1 闭区间上连续函数的有界性与最值性质 54

1.7.2 闭区间上连续函数的介值性质 55

习题1-7 58

1.8 实数的连续性 59

1.8.1 实数连续性定理 59

1.8.2 闭区闭连续函数性质的证明 66

习题1-8 70

1.9 应用实例 71

复习题一 76

习题参考答案与提示 78

第2章 一元函数微分学及其应用 81

2.0 引例 82

2.1 导数的概念 82

2.1.1 引出导数概念的2个经典问题 82

2.1.2 导数的概念 84

2.1.3 用定义求导数举例 85

2.1.4 导数的几何意义 87

2.1.5 函数可导性与连续性的关系 88

习题2-1 89

2.2 求导法则 91

2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则 91

2.2.2 复合函数的求导法则 92

2.2.3 反函数的求导法则 94

2.2.4 一些特殊的求导法则 96

习题2-2 101

2.3 函数的微分 103

2.3.1 微分的概念 103

2.3.2 微分公式与运算法则 105

2.3.3 微分的应用 107

习题2-3 110

2.4 高阶导数与相关变化率 111

2.4.1 高阶导数 111

2.4.2 隐函数和参数方程所确定的函数的高阶导数 113

2.4.3 函数的n阶导数 114

2.4.4 高阶微分 116

习题2-4 117

2.5 利用导数求极限——洛必达法则 118

2.5.1 0/0型未定式的极限 118

2.5.2 ∞／∞型未定式的极限 120

2.5.3　其他类型未定式的极限 121

习题2-5 123

2.6　微分中值定理 124

2.6.1 罗尔定理 124

2.6.2　拉格朗日中值定理 125

习题2-6 129

2.7 泰勒公式——用多项式逼近函数 130

2.7.1　泰勒多项式与泰勒公式 130

2.7.2 常用函数的麦克劳林公式 133

2.7.3 泰勒公式的应用 135

习题2-7 137

2.8 利用导数研究函数的性态 138

2.8.1 函数的单调性 138

2.8.2 函数的极值 140

2.8.3 函数的最大值与最小值 142

2.8.4 函数的凸性与拐点 144

2.8.5 曲线的渐近线，函数作图 146

习题2-8 148

2.9 平面曲线的曲率 150

2.9.1 弧微分 150

2.9.2 曲率和曲率公式 151

习题2-9 154

2.10 非线性方程的数值解法 154

习题2-10 157

复习题二 157

习题参考答案与提示 159

第3章 一元函数积分学及其应用 164

3.0 引例 165

3.1 定积分的概念、性质、可积准则 165

3.1.1 定积分问题举例 165

3.1.2 定积分的概念 167

3.1.3 定积分的几何意义 168

3.1.4 可积准则 169

3.1.5 定积分的性质 171

习题3-1 174

3.2 微积分基本定理 175

3.2.1 牛顿-莱布尼兹公式 175

3.2.2 原函数存在定理 177

习题3-2 179

3.3 不定积分 180

3.3.1 不定积分的概念及性质 180

3.3.2 基本积分公式 182

3.3.3 积分法则 182

习题3-3 193

3.4 定积分的计算 195

3.4.1 定积分的换元法 197

3.4.2 定积分的分部积分法 199

习题3-4 201

3.5 定积分应用举例 202

3.5.1 总量的可加性与微元法 202

3.5.2 几何应用举例 202

3.5.3 物理、力学应用举例 210

3.5.4 函数的平均值 213

习题3-5 213

3.6 反常积分 215

3.6.1 无穷区间上的反常积分 215

3.6.2 无界函数的反常积分 217

3.6.3 反常积分的收敛判别法 219

习题3-6 222

3.7 定积分的近似计算 222

3.7.1 牛顿-柯特斯（Newton-Cotes）公式 223

3.7.2 复化牛顿-柯特斯公式与逐次分半算法 225

复习题三 227

习题参考答案与提示 229

第4章 微分方程 233

4.1 微分方程的基本概念 234

4.1.1 基本概念 234

4.1.2 作为数学模型的微分方程 237

习题4-1 240

4.2 微分方程的初等积分法 240

4.2.1 一阶可分离变量方程 240

4.2.2 一阶线性微分方程 242

4.2.3 利用变量代换求解微分方程 244

4.2.4 某些可降阶的高阶微分方程 247

习题4-2 250

4.3 一阶微分方程建模 251

4.3.1 线性方程 251

4.3.2 非线性方程 254

4.3.3 线性微分方程组和非线性方程组 257

习题4-3 259

4.4 高阶线性微分方程 260

4.4.1 线性微分方程通解的结构 260

4.4.2 高阶常系数齐次线性微分方程的解法 263

4.4.3 高阶常系数非齐次线性微分方程的解法 266

习题4-4 276

4.5 线性微分方程组 277

4.5.1 线性微分方程组通解的结构 277

4.5.2 常系数齐次线性微分方程组的解法 280

4.5.3 常系数非齐次线性方程组的解法 285

习题4-5 287

4.6 微分方程的数值解 288

4.6.1 欧拉方法与误差分析 288

4.6.2 龙格-库塔法 292

4.6.3 多步法 295

习题4-6 296

习题参考答案与提示 296

附录1 几种常见曲线 300

附录2 汉英数学名词对照 302

附录3 希腊字母表 306

参考文献 307