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第一篇　复变函数论第一章　解析函数 3

1.1　复数及其运算 3

一、基本概念二、运算公式三、扩充复平面与复球面1.2　复变函数 6

一、区域及有关概念二、复变函数1.3　解析函数 8

一、导数二、解析函数的定义三、函数解析的条件四、在极坐标系下的C-R条件五、解析函数与调和函数的关系六、已知实部或虚部求解析函数七、解析函数实部和虚部的几何意义1.4　初等解析函数 13

一、初等单值函数二、初等多值函数1.5 平面场的复势 16

阅读材料1 最多产的伟大数学家——欧拉 18

第二章　解析函数的积分 22

2.1　复积分的概念与性质 22

2.2　柯西积分定理 23

2.3　柯西积分公式 26

阅读材料2　数学分析的奠基人——柯西 30

阅读材料3 思想最深刻的数学家之一——黎曼 31

第三章　解析函数的级数展开 33

3.1　复项级数的基本性质 33

一、复数项级数二、复函数项级数三、幂级数3.2　泰勒展开 38

3.3　唯一性定理和解析开拓 41

一、解析函数的零点和唯一性定理二、解析开拓3.4　洛朗展开 45

3.5　孤立奇点 48

一、单值函数孤立奇点的分类及判定二、函数在无穷远点邻域内的性质三、整函数和亚纯函数的概念阅读材料4　“现代分析之父”——魏尔斯特拉斯 52

第四章 留数定理及其应用 54

4.1 留数定理 54

一、留数的定义二、留数定理三、留数的计算四、无穷远点处的留数4.2　应用留数定理计算定积分 59

一、？R（cosθ，sinθ）dθ类型积分的计算二、？f(x)dx类型积分的计算三、物理学中用到的几个定积分的计算阅读材料5 复变函数论的创立 68

第五章 常微分方程的级数解和特殊函数 71

5.1 常点邻域方程的级数解 勒让德多项式和埃尔米特多项式 71

一、常点邻域方程的幂级数解二、勒让德多项式三、Pl（x）的微分表达式——罗德里格斯（Rodrigues）公式四、Pl（x）的积分表达式——施列夫利（Schl？fli）积分五、勒让德多项式的一些性质六、埃尔米特多项式5.2　正则奇点邻域方程的级数解 贝塞耳函数和诺伊曼函数 77

一、正则奇点二、广义幂级数解三、贝塞耳函数四、贝塞耳函数的一些性质阅读材料6　“数学王子”——高斯 85

第二篇　数学物理方程第六章　几个典型方程的定解问题 93

6.1　几个典型方程的导出 93

一、弦振动方程二、热传导方程三、位势方程四、两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类6.2　定解条件和定解问题 99

一、初始条件二、边界条件三、定解问题与适定性概念第七章　波动方程的初值问题 103

7.1　行波法和达朗贝尔公式 103

一、一维波动方程初值问题二、行波三、延拓法阅读材料7 数理方程的开拓者——达朗贝尔 107

7.2　球面平均法和泊松公式 108

一、三维波动方程初值问题，泊松公式二、降维法，二维泊松公式7.3　齐次化原理与有源空间波 112

一、齐次化原理二、推迟势三、几点说明阅读材料8 杰出的数学物理学家——泊松 115

第八章　分离变量法 117

8.1　傅里叶级数 117

一、正交函数系二、傅里叶级数三、傅里叶正弦级数和余弦级数四、复数形式的傅里叶级数五、有限区间上函数的傅里叶展开8.2　叠加原理和一般混合问题的简化 122

一、叠加原理二、一般混合问题的简化8.3　分离变量法的解题步骤 124

一、求解步骤二、几点说明8.4　分离变量法的应用 129

一、波动方程和热传导方程的混合问题二、位势方程的边值问题8.5　齐次化原理 141

8.6　按本征函数系展开法 143

8.7　分离变量法的理论基础 146

一、斯图姆-刘维尔型方程二、斯图姆-刘维尔本征值问题三、奇异情形阅读材料9 数学物理研究新天地的开辟者——傅里叶 151

第九章　球坐标系下的变量分离 球函数 153

9.1　球坐标系下亥姆霍兹方程的变量分离 153

一、亥姆霍兹方程二、在球坐标系下将△v+k2v=0分离变量三、小结9.2　球函数 162

一、球函数和轴对称球函数二、球函数的性质9.3　勒让德多项式的母函数和递推公式 166

一、勒让德多项式的母函数二、勒让德多项式的递推公式阅读材料10 法国数学界的“三L”之一——勒让德 170

第十章　柱坐标系下的变量分离 柱函数 172

10.1　柱坐标系下的变量分离 172

一、在柱坐标系下将△v+k2v=0分离变量二、小结三、几点说明10.2　柱函数 176

一、柱函数与递推关系二、柱函数与贝塞耳方程的关系三、贝塞耳方程的本征值问题四、渐近公式阅读材料11 卓越的天文学家和数学家——贝塞耳 186

第十一章　格林函数法 187

11.1　δ函数 187

一、δ函数的定义二、δ函数的一些性质11.2　格林函数 191

一、无界区域的格林函数，基本解二、泊松方程边值问题的格林函数三、用电像法求格林函数四、格林函数的对称性五、用展开法求格林函数11.3　泊松方程边值问题解的积分公式 199

一、格林公式二、泊松方程及调和函数的基本积分公式三、泊松方程第一边值问题解的积分公式阅读材料12 磨坊工出身的数学家——格林 203

第十二章　积分变换法 205

12.1　积分变换简介 205

12.2　傅里叶变换 206

一、傅里叶积分与傅里叶变换二、傅里叶变换的基本性质三、δ函数的傅里叶变换和傅里叶积分四、应用举例12.3　拉普拉斯变换 214

一、拉普拉斯变换的定义及存在定理二、拉普拉斯变换的性质三、梅林反演公式四、展开定理五、应用举例阅读材料13 “法国的牛顿”——拉普拉斯 225

阅读材料14 第二篇数学物理方程小结 226

阅读材料15　数学物理方程的兴起与发展 229

第三篇　选学内容第十三章 复变函数论（续） 237

13.1 多值函数的支点与黎曼面 237

一、多值函数的支点二、黎曼面13.2　保角映射初步 240

一、解析函数的保角性二、分式线性函数的映射性质三、幂函数和根式函数决定的映射四、指数函数和对数函数决定的映射五、利用保角映射求解二维稳定场问题第十四章　变分法入门 250

一、泛函的变分与泛函的极值二、不动边界的泛函的极值，欧拉方程三、泛函的条件极值问题阅读材料16 变分法、分析力学的奠基人——拉格朗日 260

第十五章　张量简介 263

一、两个约定二、张量的概念三、张量运算四、曲线坐标系中的基本微分运算习题答案与提示 275

主要参考书 286

索引 288