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第一章 概率 1

1.Borel的正轨数定理 1

单位区间 1

弱大数律 5

强大数律 8

强大数律与弱大数律的对比 11

长度 11

丢番图逼近的测度理论 13

2.概率测度 17

空间 17

指定概率 18

集类 18

概率测度 22

单位区间上的勒贝格测度 25

序列空间 27

构造σ-域 30

3.存在性和延拓 36

延拓的构造 37

唯一性与π-λ定理 41

单调类 43

单位区间上的勒贝格测度 43

完备性 44

不可测集 45

两个不可能性定理 45

4.可数概率 51

一般公式 51

极限集 52

独立事件 53

子域 57

Borel-Cantelli引理 59

零壹律 62

5.简单随机变量 67

定义 67

随机变量的收敛 70

独立性 71

独立序列的存在性 73

数学期望 76

不等式 80

6.大数定律 85

强大数律 85

弱大数律 86

Bernstein定理 86

第二Borel-Cantelli引理的改进 87

7.赌局 92

赌徒破产问题 92

选择系统 95

博弈策略 98

大胆投注 101

谨慎投注 108

8.马氏链 111

定义 111

高阶转移概率 114

存在性定理 115

常返与非常返 117

常返的另一判别准则 121

平稳分布 124

指数收敛 131

最优停时 133

9.大偏差和重对数律 145

矩母函数 145

大偏差 148

Chernoff定理 151

重对数律 153

第二章 测度 158

10.一般测度 158

集类 158

有关∞的约定 160

测度 160

唯一性 163

11.外测度 165

外测度 165

延拓 166

逼近定理 168

12.欧氏空间中的测度 171

勒贝格测度 171

正则性 174

确定直线上的测度 175

确定Rk中的测度 176

奇特的欧氏集合 179

13.可测函数与可测映照 182

可测映照 182

取值Rk的映照 183

极限与可测性 184

测度变换 185

14.分布函数 187

分布函数 187

指数分布 189

弱收敛 190

类型的收敛 193

极值分布 195

第三章 积分 199

15.积分 199

定义 199

非负函数 201

唯一性 203

16.积分的性质 206

等式与不等式 206

积分号下求极限 208

在集合上求积分 212

变量变换 213

一致可积 215

复函数 218

17.关于勒贝格测度的积分 221

直线上的勒贝格积分 221

黎曼积分 221

微积分基本定理 224

变量变换 224

Rk中的勒贝格积分 225

Stieltjes积分 228

18.乘积测度与Fubini定理 231

乘积空间 231

乘积测度 232

Fubini定理 233

分步积分 236

高阶乘积 238

19.Lp空间 241

定义 241

完备性与可分性 243

共轭空间 243

弱紧性 244

决策论初步 246

L2空间 249

估计问题 251

第四章 随机变量与数学期望 254

20.随机变量与分布 254

随机变量和随机向量 254

子域 255

分布 256

高维分布 259

独立性 261

随机变量序列 265

卷积 266

概率的收敛 268

Glivenko-Cantelli定理 268

21.数学期望 273

作为积分的数学期望 273

数学期望和极限 273

数学期望与分布 274

矩 274

不等式 276

联合积分 277

独立性与数学期望 277

矩母函数 282

22.独立随机变量之和 282

强大数律 282

弱大数律和矩母函数 284

Kolmogorov 0-1律 286

极大不等式 287

随机级数的收敛 289

随机泰勒级数 292

23.Poisson过程 297

指数分布的刻画 297

Poisson过程 297

Poisson逼近 302

Poisson过程的其他特征 303

随机过程 308

24.遍历定理 310

保测变换 311

遍历性 313

旋转的遍历性 316

遍历定理的证明 317

连分式变换 319

丢番图逼近 324

第五章 分布的收敛性 327

25.弱收敛 327

定义 327

模1的均匀分布 328

依分布收敛 329

依概率收敛 330

基本定理 333

Helly定理 336

积分号下求极限 338

26.特征函数 342

定义 342

矩与导数 342

独立性 345

逆转公式与唯一性定理 346

连续性定理 349

Fourier级数 351

27.中心极限定理 357

同分布之和 357

Lindeberg定理与Lyapounov定理 359

相关的变量 363

28.无穷可分分布 371

淡收敛 371

可能的极限 371

极限的刻画 375

29.Rk中的极限定理 378

基本定理 378

特征函数 381

Rk中的正态分布 383

中心极限定理 385

30.矩方法 388

矩问题 388

矩母函数 390

用矩方法证明中心极限定理 391

在抽样理论中的应用 392

在数论中的应用 393

第六章 导数与条件概率 400

31.直线上的导数 400

微积分基本定理 400

积分的求导 402

奇异函数 407

导数的积分 412

有界变差函数 415

32.Radon-Nikodym定理 419

可加集函数 419

Hahn分解 420

绝对连续性与奇异性 421

主要定理 422

33.条件概率 427

离散情形 427

一般情形 429

条件概率的性质 436

难点和奇特性 437

条件概率分布 439

34.条件期望 445

定义 445

条件期望的性质 446

条件分布与期望 449

充分子域 450

极小方差估计 454

35.鞅 458

定义 458

下鞅 462

博弈 463

鞅的函数 465

停时 465

不等式 466

收敛定理 468

应用之一：导数 470

似然比 471

倒鞅 472

应用之二：de Finetti定理 473

贝叶斯估计 475

中心极限定理 475

第七章 随机过程 482

36.Kolmogorov存在性定理 482

随机过程 482

有限维分布族 482

乘积空间 484

Kolmogorov存在性定理 486

RT的不完备性 492

遍历理论（续） 494

Hewitt-Savage定理 496

37.布朗运动 498

定义 498

轨道连续 500

可测过程 503

布朗运动轨道的不规则性 504

强马氏性 508

反射原理 511

Skorohod嵌入定理 513

不变原理 520

38.不可数概率 526

引言 526

定义 526

存在性定理 529

可分性的效用 532

附录 536

习题提示 552

参考文献 581

常用符号 585

索引 587