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第1章 数学物理方程的基本问题 1

1.1 数学物理方程的分类及一般性问题 1

1.1.1 基本概念：古典解、广义解和叠加原理 1

1.1.2 两个自变量二阶线性方程的分类和化简 9

1.1.3 多个自变量线性方程的分类和标准型 16

1.1.4 数学物理方程的一般性问题 19

1.2 波动方程与定解问题的适定性 21

1.2.1 波动方程的Cauchy问题 21

1.2.2 非齐次波动方程和推迟势 28

1.2.3 能量不等式和Cauchy问题的适定性 30

1.2.4 混合问题解的唯一性和稳定性 33

1.2.5 一般双曲型方程的能量积分 40

1.3 Laplace方程与Helmholtz方程 43

1.3.1 二个自变量的Laplace方程和Hilbert变换 44

1.3.2 调和函数的基本性质 50

1.3.3 边值问题的适定性 53

1.3.4 Helmholtz方程与辐射问题 55

1.3.5 一般椭圆型方程的积分估计 59

1.4 热传导方程与Schr6dinger方程 62

1.4.1 热传导方程的Cauchy问题 62

1.4.2 一维热传导方程的混合问题 68

1.4.3 色散型Schr6dinger方程 70

1.4.4 极值原理和混合问题的适定性 74

1.4.5 一般抛物型方程的能量积分估计 78

1.4.6 三类典型方程定解问题提法比较 80

习题一 83

第2章 本征值问题和分离变量法 86

2.1 Hilbert空间及完备的正交函数集 86

2.1.1 Hilbert空间和平方可积函数空间 86

2.1.2 完备的正交归一函数集 91

2.1.3 有限区间上的完备系：Legendre和Chebyshev多项式 98

2.1.4 单位球面上的完备系：球谐函数 104

2.2 微分算子的本征值问题 109

2.2.1 Hermite对称算子及本征值问题 109

2.2.2 有限个离散谱或混合谱 119

2.2.3 非Hermite对称算子：常微分算子 124

2.2.4 非Hermite对称算子：偏微分算子 127

2.3 Sturm-Liouville系统和多项式系统 133

2.3.1 Sturm-Liouville系统 133

2.3.2 Bessel算子和Bessel方程 140

2.3.3 Legendre算子和Legendre方程 143

2.3.4 S-L多项式系统和Laguerre多项式 149

2.3.5 Hermite多项式 157

2.4 有界区域定解问题的分离变量法 161

2.4.1 波动方程的齐次混合问题 161

2.4.2 热传导和色散型方程的齐次混合问题 166

2.4.3 椭圆型方程的边值问题 171

2.4.4 非齐次问题的本征函数展开 174

2.4.5 非Hermite对称算子 180

2.5 正交曲线坐标系中的分离变量 183

2.5.1 球坐标系中的Laplace算子 183

2.5.2 圆锥形区域 190

2.5.3 量子力学中的氢原子 193

2.5.4 圆柱坐标系中的Laplace算子 197

2.5.5 柱函数：Bessel函数的几种不同形式 205

2.6 无穷区域的分离变量法 212

2.6.1 无限大区域：波动方程的Cauchy问题 212

2.6.2 半无限大区域：Laplace方程的边值问题 215

2.6.3 径向无限区域、Hankel变换和平面波导 221

2.6.4 轴向无限区域和等截面波导 229

2.6.5 波动方程的非衍射解 235

习题二 240

第3章 Green函数方法 243

3.1 广义函数及Dirac Delta函数 243

3.1.1 广义函数概念和运算法则 243

3.1.2 广义函数的导数 250

3.1.3 广义函数的Fourier变换 254

3.1.4 弱收敛、弱解和Dirac Delta函数序列 257

3.1.5 曲线坐标中的Dirac Delta函数 265

3.2 二阶常微分方程的Green函数 268

3.2.1 Cauchy问题的Green函数 268

3.2.2 S-L型方程的边值问题 273

3.2.3 广义Green函数 282

3.2.4 非Hermite对称算子的边值问题 288

3.3 高维边值问题的Green函数 292

3.3.1 非齐次问题的积分公式 292

3.3.2 Helmholtz方程的Green函数 297

3.3.3 无界空间的Green函数和基本解 301

3.3.4 镜像法求边值问题的Green函数 308

3.3.5 曲线坐标中的基本解 313

3.3.6 运动介质中的基本解 318

3.4 混合问题的含时Green函数 323

3.4.1 热导方程的Green函数 323

3.4.2 波动方程的Green函数 329

3.4.3 Cauchy问题的基本解 335

3.4.4 运动电荷产生的场 338

3.4.5 径向无限大区域的含时Green函数 342

3.5 广义Green公式及非齐次问题的积分解 344

3.5.1 广义Green公式 344

3.5.2 三维椭圆型方程的Green函数 346

3.5.3 抛物型方程的Green函数 351

3.5.4 双曲型方程的Green函数 358

3.5.5 抛物近似的波动方程 362

习题三 365

第4章 变分近似方法 368

4.1 变分问题和古典法 368

4.1.1 泛函和泛函极值的基本概念 368

4.1.2 多个变量的变分问题 374

4.1.3 变端点问题，自然边界条件和内部边界条件 381

4.1.4 泛函的条件极值问题 385

4.1.5 Hamilton原理与最小位能原理 390

4.2 变分法在边值问题中的应用 393

4.2.1 边值问题与变分问题的等价：正算子 393

4.2.2 变分解的存在性：正定算子 399

4.2.3 Ritz近似方法 403

4.2.4 Galerkin法和非齐次边界问题 409

4.2.5 基于Galerkin法的时域问题 414

4.3 变分法在本征值问题中的应用 415

4.3.1 本征值问题与变分问题的等价 415

4.3.2 完备性定理的证明 421

4.3.3 极值定理、本征值与区域的关系 423

4.3.4 Ritz法和Galerkin法 427

4.4 有限元近似方法 432

4.4.1 一维边值问题的有限元法 432

4.4.2 二维边值问题的有限元法 437

4.4.3 基于Galerkin法的时域有限元近似 444

4.4.4 本征值问题的有限元近似 445

4.5 变分的其他近似方法 447

4.5.1 Kantorovich法 447

4.5.2 最速下降法与有界正定算子 451

4.5.3 共轭梯度法 455

4.5.4 矩量法和本征值问题 458

习题四 463

第5章 积分方程及其近似方法 465

5.1 积分方程的形成及分类 465

5.1.1 Volterra积分方程的形成 465

5.1.2 Fredholm积分方程的形成 470

5.1.3 积分-微分方程的形成 479

5.1.4 非线性积分方程的形成 483

5.1.5 Abel方程及第一类积分方程的不适定性讨论 486

5.2 第二类Fredholm积分方程的近似方法 489

5.2.1 第二类Fredholm方程的迭代法 490

5.2.2 Banach空间中第二类 Fredholm方程的迭代技术 493

5.2.3 可分核方程和有限秩核近似 501

5.2.4 矩量法和Galerkin近似 512

5.2.5 Nystrom方法 515

5.2.6 非线性积分方程的迭代法 518

5.3 平方可积函数空间中的积分方程 520

5.3.1 Hermite对称的平方可积核 520

5.3.2 第二类Fredholm积分方程及微扰论 527

5.3.3 平方可积Hermite对称核的极值性质 531

5.3.4 本征值问题的有限秩近似 533

5.3.5 一般平方可积核 535

5.4 Fourier变换及其他积分变换 538

5.4.1 Fourier变换及逆变换 538

5.4.2 分数导数和分数Laplace算子 543

5.4.3 分数阶Fourier变换 547

5.4.4 Laplace变换和Hankel变换 552

5.4.5 Hilbert变换及逆变换 557

5.5 边界元近似方法 559

5.5.1 Kirchhoff边界积分公式 559

5.5.2 位势问题的边界元近似 564

5.5.3 Helmholtz方程的外边值问题 567

5.5.4 时域边界元近似 571

习题五 578

第6章 微扰方法和渐近展开 581

6.1 本征值问题的微扰和含时微扰 581

6.1.1 算子本身的微扰：非简并态 581

6.1.2 算子本身的微扰：简并态 584

6.1.3 边界条件的微扰 591

6.1.4 区域微扰 603

6.1.5 Schrodinger方程的含时微扰 607

6.2 正则微扰和多尺度展开 610

6.2.1 一致有效展开 610

6.2.2 非一致有效展开和参数变形法 615

6.2.3 参数变形法应用于非线性振动和波动 618

6.2.4 多尺度展开法 622

6.2.5 均质化近似方法 627

6.3 奇异微扰及边界层理论 637

6.3.1 边界层理论的基本思想 637

6.3.2 二阶线性方程的边值问题 642

6.3.3 非线性微扰引起的边界层 648

6.3.4 初值问题的边界层 652

6.3.5 高维边值问题的边界层 658

6.4 WKB近似方法 667

6.4.1 WKB近似和Liouville-Green变换 667

6.4.2 具有转折点的本征值问题和Airy函数 675

6.4.3 非均匀波导中的波 682

6.4.4 层状介质中高频波的传播和激发 687

6.5 射线近似（几何光学）方法 696

6.5.1 程函方程和输运方程 697

6.5.2 射线管的能量守恒 703

6.5.3 焦散线附近的波场 705

6.5.4 平面层状介质中的射线 706

习题六 710

第7章 数学物理方程的逆问题 713

7.1 正则化方法和迭代技术 713

7.1.1 逆问题的适定性和分类 713

7.1.2 正则化方法和Tikhonov正则化 724

7.1.3 第一类Fredholm积分方程的正则化方法 731

7.1.4 脉冲谱迭代技术 733

7.1.5 最佳摄动量迭代技术 735

7.2 抛物型方程的逆问题 738

7.2.1 一维逆问题和Hausdorff矩逆问题 738

7.2.2 抛物型方程逆问题的脉冲谱迭代技术 746

7.2.3 抛物型方程逆问题的最佳摄动量法 754

7.2.4 光热测量中热导系数的反演 758

7.2.5 环境污染控制的逆源问题 763

7.3 椭圆型方程的逆问题 765

7.3.1 Cauchy问题的积分方程法 765

7.3.2 Cauchy问题的基本解法 769

7.3.3 Cauchy问题的边界元法 773

7.3.4 椭圆型方程的系数逆问题 776

7.3.5 椭圆方程的逆源问题 784

7.4 波动方程的逆问题 786

7.4.1 系数逆问题的迭代法 786

7.4.2 散射体的散射和Kirchhoff近似 793

7.4.3 散射体形状的逆散射 801

7.4.4 非均匀介质的散射，Born近似和Rytov近似 807

7.4.5 介质参数的逆散射 813

7.5 本征值逆问题 817

7.5.1 本征值的渐近特征 817

7.5.2 本征值逆问题的唯一性 822

7.5.3 热导方程系数逆问题的唯一性 826

7.5.4 数值方法 829

7.5.5 高维本征值逆问题 833

习题七 835

第8章 非线性数学物理方程 837

8.1 典型非线性方程及其行波解 837

8.1.1 Burgers方程及冲击波 837

8.1.2 KdV方程及孤立波 842

8.1.3 非线性Klein-Gordon方程 846

8.1.4 非线性Schrodinger方程 851

8.1.5 KdV-Burgers方程 854

8.2 Hopf-Cole变换和Hirota方法 859

8.2.1 Burgers方程的Hopf-Cole变换 860

8.2.2 KdV方程的广义Hopf-Cole变换 865

8.2.3 KdV-Burgers方程的广义Hopf-Cole变换 869

8.2.4 Hirota方法 870

8.3 逆散射方法和Lax理论 874

8.3.1 一维Schrodinger方程的逆散射问题 874

8.3.2 解KdV方程初值问题的基本思想 883

8.3.3 KdV方程初值问题的孤立子解 886

8.3.4 Lax理论 892

8.4 Backlund变换和非线性迭加 895

8.4.1 Backlund变换的基本思想 895

8.4.2 Sine-Gordon方程的自Backlund变换 896

8.4.3 KdV方程的自Backlund变换 900

8.4.4 非线性迭加公式 903

习题八 906

参考文献 908