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第1章 集合 1

1.1 集合 1

1.1.1 集合的概念 1

1.1.2 集合运算 2

1.2 基数的概念 8

1.3 可数集和不可数集 13

习题1 20

第2章 n维欧氏空间上的拓扑 23

2.1 n维欧氏空间上的拓扑概念 23

2.1.1 开集，内部，拓扑 23

2.1.2 闭集，闭包，导集 27

2.2 子空间，乘积空间，紧集和连续映射 31

2.2.1 子空间 31

2.2.2 乘积空间 32

2.2.3 紧集 33

2.2.4 连续映射 35

2.3 开集的结构，Cantor三分集，Borel集 40

2.3.1 开集的结构 40

2.3.2 Cantor三分集 43

2.3.3 Borel集 45

习题2 50

第3章 测度论 53

3.1 外测度 54

3.2 可测集 57

3.3 可测集类 61

3.3.1 可测集的进一步性质 61

3.3.2 一个不可测集的例子 63

3.3.3 集合可测性的等价定义 64

3.3.4 L作为B的完备化简介 66

习题3 69

第4章 可测函数 72

4.1 可测函数的定义和基本性质 72

4.1.1 广义实数集 72

4.1.2 可测函数 75

4.1.3 几乎处处的概念 79

4.2 简单函数 80

4.3 可测函数的极限性质和构造 83

4.3.1 几乎处处收敛与近一致收敛 84

4.3.2 依测度收敛和几乎处处收敛 86

4.3.3 可测函数的构造 89

习题4 91

第5章 Lebesgue积分 94

5.1 Lebesgue积分的引入：简单函数的积分 94

5.2 测度有限集合上有界可测函数的积分 98

5.3 Lebesgue积分和Riemann积分的关系 103

5.4 非负可测函数的积分 106

5.5 一般可测函数的积分 111

5.6 乘积测度与Fubini定理 118

5.6.1 二维乘积测度空间 118

5.6.2 Fubini定理 121

5.6.3 乘积集合的可测性 127

习题5 129

第6章 微分 134

6.1 积分的微分 134

6.1.1 Hardy-Littlewood极大函数 135

6.1.2 Lebesgue微分定理 138

6.2 函数的微分 141

6.2.1 有界变差函数 141

6.2.2 绝对连续函数 151

6.2.3 跳跃函数的导数 155

习题6 158

附录A 选择公理的等价形式 163

习题 167

附录B 一般测度与积分理论简介 168

B.1 一般测度空间 168

B.2 积分 170

B.3 符号测度和Randon-Nikodym定理 172

参考文献 175

索引 177