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第1章 从微积分谈起 1

1.1 欧氏空间 1

1.1.1 数列的极限与函数的极限 1

1.1.2 n维欧氏空间 2

1.2 度量空间 3

1.2.1 度量空间的概念 3

1.2.2 度量空间中的开球 10

1.2.3 度量空间中的开集 12

1.2.4 度量空间中点的邻域 17

1.3 若干基础知识 19

1.3.1 有限笛卡尔集的有关结论 19

1.3.2 映射的有关概念与若干结论 20

1.3.3 集族的概念与集族运算的若干结论 23

1.3.4 确界的概念与确界原理 27

第2章 拓扑空间 29

2.1 拓扑空间的概念 29

2.1.1 拓扑空间的定义 29

2.1.2 拓扑空间与度量空间 34

2.2 拓扑空间中的点集 36

2.2.1 点的邻域及其性质 36

2.2.2 导集及其性质 39

2.2.3 闭集、闭包及其性质 43

2.2.4 内部及其性质 49

2.2.5 边界及其性质 51

2.2.6 拓扑的基 55

2.2.7 拓扑的子基 59

2.3 在非空集上构造拓扑的若干方法 60

2.3.1 用邻域系公理建立拓扑空间 61

2.3.2 用闭集公理建立拓扑空间 65

2.3.3 用闭包运算建立拓扑空间 67

2.3.4 用内部运算建立拓扑空间 69

2.3.5 用边界运算建立拓扑空间 71

2.3.6 用导集运算建立拓扑空间 73

2.3.7 用基条件建立拓扑空间 78

2.3.8 用子基条件建立拓扑空间 83

2.4 拓扑空间的子空间 85

2.4.1 子空间的概念 85

2.4.2 子空间的若干性质 88

2.5 有限积空间 95

2.5.1 有限积空间的积拓扑 95

2.5.2 用子基构造积拓扑的方法 98

2.5.3 积拓扑与箱拓扑 102

2.5.4 有限积空间的子空间 104

2.5.5 有限积空间中的点集 107

第3章 拓扑空间的连续映射 112

3.1 度量空间的连续映射 112

3.1.1 微积分中的连续函数 112

3.1.2 度量空间的连续映射 114

3.2 拓扑空间连续映射的等价问题 119

3.2.1 拓扑空间连续映射的概念 119

3.2.2 拓扑空间连续映射的等价问题 120

3.2.3 连续映射与相对拓扑、积拓扑 127

3.3 同胚映射 129

3.3.1 同胚映射的有关概念 129

3.3.2 同胚映射的有关结论 130

3.3.3 子空间、有限积空间的同胚问题 137

第4章 具有可数性与分离性的拓扑空间 142

4.1 可数空间与可分空间 142

4.1.1 预备知识 142

4.1.2 可数空间与可分空间的有关概念 145

4.1.3 可数空间与可分空间的关系 150

4.1.4 可数空间与可分空间的三种性质 154

4.2 具有某些分离性质的拓扑空间 158

4.2.1 T0,T1和T2空间 158

4.2.2 正则、正规、T3和T4空间 164

4.2.3 具有分离性质的拓扑空间的关系 168

4.2.4 具有分离性质的拓扑空间的三种性质 178

第5章 拓扑空间中的序列 187

5.1 序列的概念 187

5.1.1 微积分中的数列 187

5.1.2 拓扑空间中的序列 188

5.2 收敛序列及有关性质 188

5.2.1 微积分中数列极限的若干性质 189

5.2.2 拓扑空间中的序列极限 190

5.2.3 某些特殊拓扑空间中的收敛序列 194

第6章 具有连通性和某些紧性的拓扑空间 199

6.1 连通空间与弧连通空间 199

6.1.1 连通空间 199

6.1.2 弧（道路）连通空间 211

6.1.3 连通分支与弧连通分支简介 221

6.2 具有某些紧性的拓扑空间 224

6.2.1 实数连续性（完备性）的几个等价定理 224

6.2.2 几个紧空间的概念 225

6.2.3 若干紧空间的等价定义 228

6.2.4 若干紧空间之间的关系 234

6.2.5 具有紧性空间的三种性质 240

6.3 欧氏空间中的连通性和紧致性 247

6.3.1 欧氏空间中的连通子集与弧连通子集 247

6.3.2 欧氏空间中的紧致子集 251

第7章 可度量化的拓扑空间 256

7.1 可度量化空间 256

7.1.1 几个重要引理 257

7.1.2 可度量化定理 269

7.2 从拓扑空间看微积分中的若干定理 270

7.2.1 关于极限中的若干定理 271

7.2.2 关于实数连续性（完备性）定理 272

7.2.3 关于连续函数的有关定理 274

7.3 度量空间中的若干问题 275

7.3.1 度量空间中的一致连续映射 276

7.3.2 度量空间中的紧致性 279

附录1：问题与练习 284

附录2：名词索引 295

附录3：主要参考文献 300