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第1章 引论、准备知识 1

1 引论 1

2 关于偏微分方程的一些基本概念 2

2.1 几个典型方程 2

2.2 定解问题 5

2.3 二阶方程 5

2.4 一阶方程组 8

3 Fourier变换和复数矩阵 10

3.1 Fourier变换 10

3.2 复数矩阵 12

第2章 有限差分方法的基本概念 13

1 有限差分格式 13

1.1 网格剖分 13

1.2 用Taylor级数展开方法建立差分格式 14

1.3 积分方法 17

1.4 隐式差分格式 18

2 有限差分格式的相容性、收敛性及稳定性 19

2.1 有限差分格式的截断误差 19

2.2 有限差分格式的相容性 22

2.3 有限差分格式的收敛性 23

2.4 有限差分格式的稳定性 25

2.5 Lax等价定理 27

3 研究有限差分格式稳定性的Fourier方法 28

3.1 Fourier方法 28

3.2 判别准则 31

3.3 例子 34

4 研究有限差分格式稳定性的其他方法 37

4.1 Hirt启示性方法 37

4.2 直接方法 38

4.3 能量不等式方法 42

习题 43

第3章 双曲型方程的有限差分方法 45

1 一阶线性常系数双曲型方程 45

1.1 迎风格式 45

1.2 Lax-Friedrichs格式 46

1.3 Lax-Wendroff格式 48

1.4 Courant-Friedrichs-Lewy条件 49

1.5 利用偏微分方程的特征线来构造有限差分格式 50

1.6 蛙跳格式 52

1.7 数值例子 53

2 一阶线性常系数方程组 54

2.1 Lax-Friedrichs格式 54

2.2 Lax-Wendroff格式 55

2.3 迎风格式 55

3 变系数方程及方程组 56

3.1 变系数方程 56

3.2 变系数方程组 59

4 二阶双曲型方程 60

4.1 波动方程的初值问题 60

4.2 波动方程的显式格式 61

4.3 波动的方程差分格式的C.F.L条件 63

4.4 等价方程组的差分格式 65

5 双曲型方程及方程组的初边值问题 65

5.1 二阶双曲型方程的边界处理 66

5.2 一阶双曲型方程及方程组的边界条件 68

5.3 一阶双曲型方程及方程组的数值边界处理 69

6 二维问题 73

6.1 一阶双曲型方程 73

6.2 一阶双曲型方程组 76

6.3 隐式格式和ADI格式 77

7 非线性方程 80

7.1 守恒律的初值问题 80

7.2 Lax-Friedrichs差分格式 83

7.3 守恒型差分格式 84

习题 86

第4章 抛物型方程的有限差分方法 89

1 常系数扩散方程 89

1.1 向前差分格式，向后差分格式 89

1.2 加权隐式格式 90

1.3 三层显式格式 91

1.4 三层隐式格式 94

1.5 跳点格式 95

2 初边值问题 97

2.1 第一类边界条件 97

2.2 第三类边界条件 97

2.3 数值例子 98

2.4 关于稳定性分析的附注 101

2.5 Saul′ev算法 101

2.6 分组显式方法 103

3 对流扩散方程 103

3.1 中心显式格式 104

3.2 修正中心显式格式 105

3.3 迎风差分格式 106

3.4 Samarskii格式 107

3.5 指数型差分格式 109

3.6 隐式格式 111

3.7 特征差分格式 112

4 变系数方程 114

4.1 Taylor级数展开方法 114

4.2 Keller盒式格式 115

4.3 有限体积法 116

4.4 间断系数问题 118

4.5 隐式方程的解法 119

5 多维问题 120

5.1 一维格式的直接推广 121

5.2 交替方向隐式格式 122

5.3 局部一维格式 124

5.4 预测-校正格式 125

5.5 跳点格式 126

5.6 三维问题 127

6 非线性方程 129

6.1 Richtmyer线性化方法 130

6.2 拟线性扩散方程的隐式格式 131

6.3 三层格式 133

6.4 预估-校正方法 134

习题 136

第5章 椭圆型方程的差分方法 138

1 Poisson方程 138

1.1 五点差分格式 138

1.2 九点差分格式 140

1.3 极坐标下的差分格式 141

2 差分格式的性质 143

2.1 存在惟一性问题 143

2.2 差分方程解的收敛性 144

3 边界条件的处理 146

3.1 矩形区域 146

3.2 一般区域 147

4 变系数方程 149

4.1 直接差分方法 150

4.2 有限体积法 150

5 双调和方程 151

6 特征值问题 152

习题 153

第6章 数学物理方程的变分原理 155

1 变分问题介绍 155

1.1 古典变分问题 155

1.2 变分问题解的必要条件 157

1.3 Rn中的变分问题 160

2 一维数学物理问题的变分问题 162

2.1 两点边值问题的变分形式 163

2.2 非齐次约束边界条件的处理 166

2.3 第二、三类边界条件 167

3 高维数学物理问题的变分问题 167

3.1 第一类边值问题的变分问题 168

3.2 其他边值问题 170

3.3 间断系数问题——有内边界的情形 171

3.4 重调和方程边值问题的变分问题 173

4 变分问题的近似计算 174

4.1 Ritz方法 174

4.2 Galerkin方法 176

4.3 古典变分方法的数值例子 176

5 权余量方法及其他方法 178

习题 181

第7章 有限元离散方法 185

1 一维问题的有限元方法、线性元 185

1.1 单元剖分及试探函数空间的构造 186

1.2 有限元方程的形成 187

1.3 数值例子 193

2 二维问题、三角形线性元 195

2.1 单元剖分及试探函数空间的构造 196

2.2 有限元方程的形成 200

2.3 例子 207

3 高次插值 211

3.1 一维问题的高次插值 211

3.1.1 Lagrange插值 211

3.1.2 Hermite插值 214

3.2 二维问题三角形元的高次插值 216

3.2.1 线性插值和面积坐标 217

3.2.2 二次插值 219

3.2.3 三次插值 220

3.3 二维问题的矩形元 221

3.3.1 双线性插值 221

3.3.2 双二次插值 222

3.3.3 Hermite插值 223

3.4 等参数单元 223

3.4.1 任意四边形单元 224

3.4.2 等参数单元的概念和例 226

习题 227

第8章 其他一些课题 230

1 基于变分原理的差分格式 230

1.1 一维问题 230

1.2 二维问题 233

2 抛物型方程的有限元方法 236

3 一些非线性问题 239

3.1 非线性问题的一个例子 239

3.2 变分不等方程简介 241

3.2.1 Rn中光滑函数的最小问题 241

3.2.2 障碍问题 242

3.2.3 水坝的渗流问题 243

4 特征值问题的变分形式及有限元方法 245

4.1 特征值问题 245

4.2 特征值问题的Galerkin变分形式 248

4.3 特征值问题的极小形式 248

4.4 特征值问题的有限元方法 250

4.5 例子 253

5 边界元方法 255

5.1 基本的边界积分关系式 256

5.2 边界元近似 258

5.3 数值例子 261

6 多重网格方法 264

6.1 模型问题，迭代法的分析 264

6.1.1 一维和二维的模型例子 264

6.1.2 网格方程迭代法的分析 265

6.1.3 两层网格方程组的联系 268

6.2 二重网格方法 269

6.2.1 粗、细网上函数值的转移 269

6.2.2 二重网格上的一个循环 270

6.3 多重网格方法 271

6.3.1 多重网格的一个V循环 271

6.3.2 完全的多重网格方法 272

习题 273

索引 275

参考文献 278