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第1章　国外数学历史发展概况 1

1.1　数学的萌芽时期（从远古至公元前6、5世纪） 2

1.1.1 巴比伦的数学 3

1.1.2　古埃及的数学 4

1.1.3　古印度的数学 6

1.2　初等数学时期（公元前6世纪至公元17世纪） 9

1.2.1　古希腊数学（公元前6世纪至公元6世纪） 9

1.2.2　阿拉伯数学（9至13世纪） 21

1.2.3 中世纪印度数学（5世纪至12世纪） 24

1.2.4　西欧数学的复苏（11世纪至16世纪） 26

1.3　变量数学时期（17世纪上半叶至19世纪20年代） 32

1.3.1 变量数学产生的17世纪 32

1.3.2　高等数学迅速发展的18世纪 46

1.4　近代数学时期（19世纪20年代至20世纪40年代） 52

1.4.1　非欧几何与近代几何思想 52

1.4.2　代数学的解放 57

1.4.3　分析学基础的严密化 60

1.4.4　分析学基础的算术化 62

1.4.5　公理化方法 63

1.4.6　康托与集合论 64

1.4.7　数学的基础 66

第2章　中国传统数学成就 69

2.1 《周易》与中国传统数学 70

2.1.1　从数（表）演进为爻 72

2.1.2 《周易》揲法 73

2.1.3　组合数学的思想 75

2.2　先秦显学中的数学思想 76

2.3　中国传统数学理论的研究 79

2.3.1　刘徽与《九章算术注》 79

2.3.2　祖率与祖暅原理 85

2.3.3 内插法与天文历法 91

2.3.4 明算学与“算经十书” 94

2.4　中国传统数学发展的顶峰 99

2.4.1　杨辉三角与增乘开方法 99

2.4.2　秦九韶与中国剩余定理 103

2.4.3　方程与级数的研究 107

2.5 中国传统数学的特点 115

2.5.1　算法化特征 115

2.5.2　实用性思想 117

2.5.3　政府控制的特征 120

2.5.4　连续性特征 122

第3章　数与数系的发展 125

3.1　数的起源 126

3.1.1　数感 126

3.1.2　一一对应计数法与进位制 127

3.1.3　度量的数 130

3.1.4　抽象的数 131

3.1.5　神秘的数 132

3.2　数的表示方法 133

3.2.1　结绳与书契 133

3.2.2　文字记数 135

3.2.3　位值制记数法 136

3.2.4　干支记数法 138

3.3　数系在计算中发展 140

3.3.1 负数 141

3.3.2　无理数 142

3.3.3　复数 145

3.3.4 四元数 148

3.4　数系的公理化 152

3.4.1　戴德金分割 152

3.4.2 自然数公理 154

3.5　超限基数 155

3.5.1　一一对应方法与可列集 156

3.5.2 实数集R是不可列的 157

3.5.3　超限基数比大小 158

3.6　发展数感 160

第4章　方程求解与代数符号化 162

4.1　早期的方程求解方法 164

4.1.1　配方法与数表法 164

4.1.2 《九章算术》的“方程术” 166

4.1.3　开方法解方程 170

4.1.4　几何方法解方程 172

4.2　代数的符号化 176

4.2.1　丢番图的缩记符号 176

4.2.2　花拉子米的“代数学” 178

4.2.3　印度的代数学 180

4.2.4　天元术与四元术 182

4.2.5　方程的公式解 189

4.2.6　走出缩记法 192

4.3　数学符号化的意义 195

4.3.1　促进数学理论形成 195

4.3.2　简缩数学思维过程 197

4.4　学校的代数教育 198

4.4.1　从算术到代数的教育目标 198

4.4.2　代数学的认知发展 200

第5章　几何学的发展 203

5.1　形的认识 203

5.2　测量与几何 206

5.2.1　经验公式 206

5.2.2　求积方法 207

5.2.3　多边形数 212

5.3　最早的演绎几何学 213

5.3.1 《几何原本》的公理化体系 214

5.3.2 《几何原本》中的几何方法 217

5.4　三大作图问题与《圆锥曲线》 221

5.5　坐标几何与曲线方程思想 225

5.6　罗巴切夫斯基几何学 228

5.6.1 第五公设及其等价命题 228

5.6.2　非欧几何学的先兆 229

5.6.3　奇异的罗巴切夫斯基几何学 231

5.7　几何学的统一性与现实性 234

5.7.1　黎曼几何 234

5.7.2　非欧几何学的“现实性” 235

5.7.3　爱尔兰根纲领 237

5.8　几何基础与公理化方法 239

5.8.1 公理化方法 240

5.8.2　欧氏几何公理体系的严密化 241

5.8.3　公理集合的相容性 243

5.9　学校中欧氏几何的教育 247

5.9.1 几何逻辑思维发展的培养模式 248

5.9.2　空间观念的培养策略 252

第6章　微积分方法与函数概念的演变 255

6.1　极限观念 255

6.2　量分割与积分方法 256

6.2.1　阿基米德的平衡法 257

6.2.2　开普勒的旋转体体积公式 259

6.2.3　卡瓦列里的不可分量原理 259

6.3　微分方法与微积分的互逆性 262

6.3.1 费马方法与圆法 263

6.3.2　特征三角形求切线法 266

6.4　牛顿的流数术 269

6.4.1 二项式定理的推广 269

6.4.2　流数法 271

6.4.3 最初比与最终比 272

6.5　莱布尼兹的数列阶差法 274

6.6　函数概念的发展 276

6.6.1 函数的曲线表示形式 277

6.6.2　函数概念的解析表示 279

6.6.3 函数的对应观 282

6.7　函数概念的认知研究 284

6.8　无穷小重返数坛 287

第7章　数论与或然数学的发展 289

7.1　数论 289

7.1.1　素数分布 290

7.1.2 陈氏定理——数学皇冠上的明珠 294

7.1.3 费马最后定理 297

7.1.4　让我们教猜想吧 303

7.2　概率论 307

7.2.1　点的问题及数学期望 307

7.2.2　概率理论的发展 309

7.2.3　概率论的公理化 313

7.3　数理统计 315

第8章　现代数学与应用 319

8.1　20世纪数学应用的发展概况 319

8.2　数学模型方法 322

8.3　非线性数学 326

8.4　杨-米尔斯方程与现代微分几何 329

8.5　折叠与突变理论 332

8.6　平衡点与对策论 337

8.7　隶属函数与模糊数学 340

8.8　黄金分割与斐波那契数列 343

8.9　编码技术与密钥体制 346

8.10　社会的数学化 352

第9章　信息时代的数学 360

9.1　从算筹到电子计算机 360

9.2　图灵机与可计算性 368

9.3　机器证明与“吴法” 373

9.4　四色猜想的机器证明 378

9.5　分形几何 383

9.5.1 不规则图形与病态函数 383

9.5.2 “游牧者”的形象思维 386

9.5.3　分形维数与科克曲线 390

9.5.4　迭代函数系统与谢尔宾斯基三角形 394

9.6　科学计算与计算机实验 396

第10章　世纪回眸 400

10.1　著名数学问题的进展 401

10.2　布尔巴基学派 407

10.3　数学共同体 412

10.3.1　数学交流机制 413

10.3.2　数学的社会化 416

10.4　数学教育发展 422

10.4.1　新数学运动 422

10.4.2　问题解决 425

10.4.3　中国数学教育发展 428

附录一 历届菲尔兹奖获得者及其研究领域 431

附录二 历届沃尔夫奖获得者及其研究领域 433

附录三 主要外国人译名对照 434

主要参考文献 437

后记 439