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第1章 随机事件与概率 1

1.1 随机现象及其统计规律 1

一、确定性现象和随机现象 1

二、统计规律 2

习题1.1 3

1.2 随机事件及其运算 3

一、样本点与样本空间 3

二、随机事件 4

三、事件之间的关系 5

四、事件的运算 5

五、σ-代数 9

习题1.2 9

1.3 概率的公理化定义及概率的性质 11

一、概率的公理化定义 11

二、概率的基本性质 12

三、加法公式 13

四、连续性 14

习题1.3 15

1.4 确定概率的四种方法 15

一、确定概率的频率方法 16

二、确定概率的主观方法 16

三、确定概率的古典方法 17

四、确定概率的几何方法 20

习题1.4 23

1.5 条件概率与乘法公式 24

一、条件概率 24

二、乘法公式 26

习题1.5 27

1.6 全概率公式与贝叶斯公式 28

一、全概率公式 28

二、贝叶斯公式 30

习题1.6 32

1.7 事件的独立性与伯努利公式 33

一、事件的独立性 33

二、独立性在可靠性理论中的应用 36

三、伯努利公式 37

四、小概率原理 38

习题1.7 40

第2章 随机变量及其分布 42

2.1 随机变量的概念及分布函数 42

一、随机变量的概念 42

二、分布函数 43

三、由分布函数求概率 44

习题2.1 45

2.2 离散型随机变量 45

一、分布列 45

二、分布列与分布函数的互化 47

习题2.2 47

2.3 常见的离散型分布 48

一、退化分布 48

二、0-1分布 49

三、二项分布 49

四、泊松分布 50

五、负二项分布 53

六、几何分布 54

七、超几何分布 55

习题2.3 56

2.4 连续型随机变量 57

一、概率密度 57

二、概率密度与分布函数的互化 58

三、连续型分布的概率计算 60

习题2.4 61

2.5 常见的连续型分布 62

一、均匀分布 62

二、指数分布 63

三、正态分布 65

四、Γ分布 68

五、β分布 69

习题2.5 71

2.6 随机变量函数的分布 72

一、离散型随机变量函数的分布 72

二、连续型随机变量函数的分布 72

习题2.6 75

第3章 多维随机变量及其分布 76

3.1 联合分布函数与边缘分布函数 76

一、多维随机变量的概念 76

二、联合分布函数 77

三、用联合分布函数表示概率 78

四、边缘分布函数 79

习题3.1 80

3.2 二维离散型随机变量 80

一、联合分布列 80

二、边缘分布列 82

三、常见的多维离散型分布 84

习题3.2 85

3.3 二维连续型随机变量 86

一、联合概率密度 86

二、二维连续型分布的概率计算 87

三、边缘概率密度 88

习题3.3 90

3.4 随机变量的独立性 91

一、两个随机变量的独立性 91

二、多个随机变量的独立性 93

习题3.4 94

3.5 条件分布 95

一、离散型情形 95

二、连续型情形 97

三、密度版本的全概率公式和贝叶斯公式 98

习题3.5 99

3.6 多维随机变量函数的分布 100

一、和的分布 100

二、最大值与最小值的分布 103

三、一般情况 105

四、变量变换法 107

习题3.6 109

第4章 随机变量的数字特征和多维正态分布 111

4.1 数学期望 111

一、数学期望的定义 111

二、常见分布的期望 113

习题4.1 115

4.2 随机变量函数的数学期望 115

一、一维随机变量函数的数学期望 115

二、二维随机变量函数的数学期望 117

三、数学期望的性质 118

四、条件数学期望 120

习题4.2 124

4.3 方差 125

一、方差的定义 125

二、方差的性质 126

三、常见分布的方差 127

习题4.3 131

4.4 协方差与相关系数 132

一、协方差 132

二、相关系数 135

三、多维随机变量的协方差矩阵 137

习题4.4 139

4.5 多维正态分布 140

一、多维正态分布的定义 140

二、多维正态分布的相关理论 140

三、非退化多维正态分布及二维正态分布 143

习题4.5 146

4.6 随机变量的其他数字特征 147

一、矩 147

二、分位数 147

三、变异系数 149

四、偏度和峰度 150

习题4.6 152

第5章 大数定律和中心极限定理 153

5.1 切比雪夫不等式 153

习题5.1 155

5.2 特征函数 156

一、特征函数的定义 156

二、特征函数的性质 157

三、逆转公式及唯一性定理 159

习题5.2 164

5.3 依概率收敛和大数定律 165

一、依概率收敛 165

二、三个大数定律 167

习题5.3 171

5.4 依分布收敛和中心极限定理 171

一、依分布收敛 171

二、依分布收敛的特征函数刻画 174

三、两个中心极限定理 175

习题5.4 179

第6章 样本及抽样分布 181

6.1 总体与样本 181

一、总体与总体分布 181

二、样本与样本空间 182

三、简单随机样本 183

四、统计推断 185

习题6.1 185

6.2 几个常用的统计量 185

一、统计量的定义 186

二、几个常用的统计量 186

习题6.2 193

6.3 次序统计量和经验分布函数 194

一、次序统计量的定义 194

二、离散型总体下次序统计量的分布 196

三、连续型总体下次序统计量的分布 197

四、经验分布函数 200

习题6.3 201

6.4 统计推断中的三大分布及其分位数 202

一、x2分布 202

二、F分布 204

三、t分布 207

习题6.4 210

6.5 正态总体的抽样分布定理 210

一、单个正态总体的抽样分布定理 211

二、两个正态总体的抽样分布定理 213

习题6.5 214

6.6 充分统计量 216

一、充分统计量的定义 216

二、因子分解定理 217

习题6.6 219

第7章 参数估计 220

7.1 点估计 220

一、点估计的概念 220

二、替换原理和矩法估计 221

三、最大似然原理和最大似然估计 222

习题7.1 228

7.2 估计量评价的一般标准 229

一、无偏性 229

二、有效性 231

三、相合性 233

习题7.2 234

7.3 一致最小方差无偏估计 236

一、均方误差准则 236

二、一致最小方差无偏估计 237

习题7.3 242

7.4 区间估计的概念和方法 243

一、置信水平与置信区间 243

二、可靠度和精确度 244

三、枢轴量法 245

习题7.4 246

7.5 单个正态总体的区间估计 246

一、均值μ的区间估计 246

二、方差σ2的区间估计 248

习题7.5 249

7.6 两个正态总体的区间估计 250

一、均值差μ1-μ2的区间估计 250

二、方差比σ2 1/σ2 2的区间估计 252

习题7.6 253

7.7 非正态总体的区间估计 254

一、小样本方法 254

二、大样本方法 255

习题7.7 257

第8章 参数假设检验 258

8.1 假设检验的基本思想和概念 258

一、统计假设 258

二、检验法则与拒绝域 259

三、两类错误与显著性检验 260

四、检验P值 262

习题8.1 263

8.2 单个正态总体的假设检验 263

一、均值μ的假设检验 263

二、方差σ2的假设检验 268

习题8.2 272

8.3 两个正态总体的假设检验 273

一、均值差μ1-μ2的假设检验 274

二、方差比σ2 1/σ2 2的假设检验 277

习题8.3 280

8.4 成对数据检验及非正态总体检验 281

一、成对数据的t检验 281

二、非正态总体检验 283

习题8.4 286

8.5 似然比检验 287

一、似然比检验 287

二、假设检验与区间估计的关系 289

习题8.5 290

第9章 非参数假设检验 292

9.1 拟合优度检验与独立性检验 292

一、Q-Q图 292

二、x2拟合优度检验 294

三、科尔莫戈罗夫检验 300

四、独立性检验 302

习题9.1 304

9.2 正态性检验 306

一、W检验 306

二、D检验 309

习题9.2 309

9.3 秩和检验与符号检验 310

一、秩和检验 310

二、符号检验 312

三、成对数据的符号秩和检验 314

习题9.3 315

9.4 游程检验 317

习题9.4 319

第10章 回归分析与方差分析 321

10.1 一元线性回归分析 321

一、回归分析概述 321

二、一元线性回归模型 322

三、回归系数的最小二乘估计 323

四、总偏差平方和分解公式 325

五、回归方程的显著性检验 328

六、回归系数的区间估计 330

七、因变量值的预测 331

八、自变量的控制 332

习题10.1 333

10.2 多元线性回归分析 334

一、多元线性回归模型 334

二、回归系数的最小二乘估计 335

三、总偏差平方和分解公式 337

四、回归方程的显著性检验 337

习题10.2 338

10.3 单因素方差分析 340

一、方差分析概述 340

二、单因素方差分析统计模型 341

三、方差分析 343

四、统计分析 347

习题10.3 349

10.4 双因素方差分析 350

一、双因素方差分析的种类 350

二、无交互作用的双因素方差分析 351

三、有交互作用的双因素等重复方差分析 356

习题10.4 360

第11章 Excel与R软件在统计中的应用 362

11.1 Excel统计数据分析 362

一、系统安装 362

二、Excel分析工具库 362

三、Excel统计分析 363

四、常用的Excel统计函数 370

11.2 R软件入门知识 372

一、初识R软件 373

二、R中常用的统计函数 375

三、读取数据 376

四、R中的概率分布函数 377

五、R中的简单绘图 379

六、编写R函数 383

11.3 R软件的统计应用简介 386

一、假设检验 386

二、线性回归分析 394

三、方差分析 397

附表1 泊松分布表 404

附表2 标准正态分布表 406

附表3 x2分布分位数表 407

附表4 F分布分位数表 409

附表5 t分布分位数表 413

附表6 科尔莫戈罗夫检验的临界值表 414

附表7 正态性检验统计量W的系数ai（n）数值表 415

附表8 正态性检验统计量W的α分位数Wα表 418

附表9 Wilcoxon秩和检验临界值表 419

附表10 Wilcoxon符号秩和检验统计量的分位数表 422

附表11 游程总数检验临界值表 423

附表12 检验相关系数的临界值表 424

附表13 常见分布的期望、方差及特征函数 425

参考文献 427