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第1章 函数、极限与连续 1

1.1 函 数 1

1.1.1 实数与实数集合 2

1.1.2 函数及其图形 4

1.1.3 反函数、复合函数与初等函数 11

1.1.4 常用的经济函数 15

习题1.1 18

1.2 极限的定义与性质 20

1.2.1 自变量趋向有限数的极限 20

1.2.2 单侧极限 23

1.2.3 函数在无穷大的极限 24

1.2.4 无穷极限 25

1.2.5 极限的性质 27

习题1.2 28

1.3 极限的运算法则 29

1.3.1 极限的四则运算法则 29

1.3.2 复合函数的极限 33

1.3.3 夹逼定理 33

1.3.4 无穷小的比较 36

习题1.3 39

1.4 函数的连续与间断 40

1.4.1 连续函数的定义 40

1.4.2 函数间断点的类型 42

1.4.3 连续函数的运算及初等函数的连续性 44

1.4.4 在闭区间上连续函数的性质 45

习题1.4 46

小结 48

练习一 50

阅读材料1 极限的历史回顾及其严格定义 53

阅读材料2 自然常数e与极限lim x→∞（1十1/x）x＝e 57

第2章 导数与微分 61

2.1 导数的概念 62

2.1.1 引例 62

2.1.2 导数的定义 64

2.1.3 单侧导数 67

2.1.4 导数的几何意义 69

2.1.5 函数的可导性与连续性的关系 70

习题2.1 71

2.2 函数的求导法则 71

2.2.1 导数的四则运算法则 71

2.2.2 反函数的求导法则 74

2.2.3 复合函数的求导法则 75

2.2.4 初等函数的求导问题 78

习题2.2 79

2.3 高阶导数 81

2.3.1 高阶导数的概念 81

2.3.2 高阶导数的运算 83

习题2.3 84

2.4 隐函数及由参数方程确定的函数的导数 84

2.4.1 隐函数的导数 84

2.4.2 由参数方程确定的函数的导数 88

习题2.4 91

2.5 微分 92

2.5.1 微分的概念 92

2.5.2 基本微分公式与微分运算法则 95

2.5.3 微分在近似计算中的应用 97

习题2.5 98

小结 99

练习二 100

阅读材料1 狐兔模型与导数 102

第3章 中值定理与导数的应用 105

3.1 中值定理 105

3.1.1 罗尔（Rolle）定理 105

3.1.2 拉格朗日（Lagrange）中值定理 108

3.1.3 柯西中值定理 111

习题3.1 112

3.2 洛必达法则 112

3.2.1 0/0型及∞/∞型未定式 113

3.2.2 其他类型的未定式（0·∞，∞-∞，00，1∞，∞0） 117

习题3.2 120

3.3 函数的单调性与曲线的凹凸性 121

3.3.1 函数的单调性 121

3.3.2 曲线的凹凸性 125

习题3.3 129

3.4 函数的极值与最大值和最小值 130

3.4.1 函数的极值 130

3.4.2 函数的最大值和最小值 135

习题3.4 140

3.5 函数图形的描绘 141

3.5.1 渐近线 141

3.5.2 函数图形的描绘 143

习题3.5 147

3.6 导数在经济学中的应用 148

3.6.1 最大值和最小值在经济问题中的应用举例 148

3.6.2 导数在经济分析中的应用 149

习题3.6 152

小结 152

练习三 155

阅读材料1 ？的计算与牛顿切线法 157

第4章 函数的积分 160

4.1 定积分的概念与性质 161

4.1.1 定积分问题的实例 161

4.1.2 定积分的概念 163

4.1.3 定积分的性质 164

习题4.1 166

4.2 微积分基本定理 166

4.2.1 积分上限的函数及其导数 167

4.2.2 原函数 169

4.2.3 牛顿-莱布尼茨公式 170

习题4.2 172

4.3 不定积分 173

4.3.1 不定积分的概念 173

4.3.2 不定积分的性质 174

4.3.3 基本积分公式 174

4.3.4 直接积分法 175

习题4.3 177

4.4 基本积分法（一）——换元积分法 177

4.4.1 第一类换元积分法 178

4.4.2 第二类换元积分法 183

4.4.3 定积分的换元法 188

习题4.4 191

4.5 基本积分法（二）——分部积分法 192

4.5.1 不定积分的分部积分法 192

4.5.2 定积分的分部积分法 196

习题4.5 199

4.6 广义积分 200

4.6.1 无穷限的广义积分 200

4.6.2 无界函数的广义积分 203

习题4.6 205

小结 206

练习四 209

阅读材料1 两种特殊类型的函数的积分 211

阅读材料2 定积分的数值积分法 215

第5章 定积分的应用 218

5.1 定积分的微元法 218

5.2 定积分在几何上的应用 220

5.2.1 平面图形的面积 220

5.2.2 体积的计算 226

习题5.2 231

5.3 定积分在经济分析中的应用 231

5.3.1 由边际函数求原经济函数 231

5.3.2 由边际函数求最优问题 235

5.3.3 积分在其他经济问题中的应用 236

习题5.3 238

小结 238

练习五 240

阅读材料1 洛伦兹曲线与基尼系数 242

第6章 多元函数的微积分 243

6.1 空间解析几何简介 243

6.1.1 空间直角坐标系 243

6.1.2 空间中两点间的距离 245

6.1.3 曲面及其方程 245

习题6.1 252

6.2 多元函数的基本概念 253

6.2.1 平面区域的概念 253

6.2.2 二元函数的概念 255

6.2.3 二元函数的极限 257

6.2.4 二元函数的连续性 259

习题6.2 260

6.3 偏导数 261

6.3.1 偏导数的概念 262

6.3.2 高阶偏导数 265

习题6.3 268

6.4 全微分与链式法则 268

6.4.1 全微分 269

6.4.2 链式法则 273

6.4.3 全微分形式的不变性 278

习题6.4 279

6.5 多元函数的极值 281

6.5.1 多元函数的极值的概念 281

6.5.2 多元函数的最大值和最小值 284

6.5.3 条件极值与拉格朗日乘数法 285

习题6.5 289

6.6 二重积分的概念及其性质 289

6.6.1 二重积分的概念 290

6.6.2 二重积分的性质 292

习题6.6 293

6.7 在直角坐标系下二重积分的计算 293

6.7.1 在直角坐标系下二重积分的计算 293

6.7.2 交换二次积分次序的步骤 298

6.7.3 利用对称性和奇偶性计算二重积分 300

习题6.7 301

6.8 在极坐标系下二重积分的计算 303

习题6.8 307

小结 308

练习六 313

阅读材料1 最小二乘法 317

第7章 常微分方程 319

7.1 常微分方程的概念 320

7.1.1 常微分方程的概念 320

习题7.1 324

7.2 一阶微分方程的解法 325

7.2.1 分离变量法 325

7.2.2 变量代换法 328

7.2.3 常数变易法 332

习题7.2 336

7.3 二阶线性微分方程的解法 338

7.3.1 二阶线性微分方程解的结构 338

7.3.2 二阶常系数齐次线性微分方程的特征根求法 339

7.3.3 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 342

习题7.3 346

7.4 差分方程 346

7.4.1 差分的概念与性质 346

7.4.2 差分方程的概念 348

7.4.3 一阶常系数线性差分方程 349

7.4.4 二阶常系数线性差分方程 352

习题7.4 354

小结 355

练习七 356

阅读材料1 悬链线 358

第8章 级数 360

8.1 数列 360

8.1.1 数列及其极限 360

8.1.2 数列极限的计算 361

习题8.1 365

8.2 常数项级数的概念与性质 365

8.2.1 常数项级数的概念 365

8.2.2 收敛级数的基本性质 367

习题8.2 370

8.3 常数项级数的收敛性判别法则 370

8.3.1 正项级数及其收敛性判别法 371

8.3.2 交错级数及其收敛性判别定理 375

8.3.3 绝对收敛与条件收敛 377

习题8.3 379

8.4 幂级数 380

8.4.1 函数项级数的概念 380

8.4.2 幂级数及其收敛域 381

8.4.3 幂级数的运算 384

习题8.4 386

8.5 泰勒级数与函数展开成幂级数 387

8.5.1 泰勒级数 387

8.5.2 泰勒多项式 388

8.5.3 泰勒级数的收敛性 390

8.5.4 函数展开成幂级数的方法 393

习题8.5 396

小结 396

练习八 398

阅读材料1 数学与经济——摘自《当今数学及其应用》 400

参考答案 401