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第一部分 数理逻辑 1

第一章 命题逻辑的基本概念 1

1.1命题与联结词 1

1.2命题公式及其赋值 7

习题一 12

第二章 命题逻辑等值演算 16

2.1等值式 16

2.2析取范式与合取范式 23

2.3联结词的完备集 31

2.4可满足性问题与消解法 33

习题二 38

第三章 命题逻辑的推理理论 42

3.1推理的形式结构 42

3.2自然推理系统P 46

习题三 51

第四章 一阶逻辑基本概念 55

4.1一阶逻辑命题符号化 55

4.2一阶逻辑公式及其解释 60

习题四 65

第五章 一阶逻辑等值演算与推理 68

5.1一阶逻辑等值式与置换规则 68

5.2一阶逻辑前束范式 72

5.3一阶逻辑的推理理论 74

习题五 78

第二部分 集合论 83

第六章 集合代数 83

6.1集合的基本概念 83

6.2集合的运算 86

6.3有穷集的计数 88

6.4集合恒等式 92

习题六 96

第七章 二元关系 102

7.1有序对与笛卡儿积 102

7.2二元关系 104

7.3关系的运算 106

7.4关系的性质 113

7.5关系的闭包 118

7.6等价关系与划分 123

7.7偏序关系 126

习题七 130

第八章 函数 136

8.1函数的定义与性质 136

8.2函数的复合与反函数 142

8.3双射函数与集合的基数 146

8.4一个电话系统的描述实例 154

习题八 160

第三部分 代数结构 165

第九章 代数系统 165

9.1二元运算及其性质 165

9.2代数系统 172

9.3代数系统的同态与同构 176

习题九 178

第十章 群与环 181

10.1群的定义及其性质 181

10.2子群与群的陪集分解 185

10.3循环群与置换群 191

10.4环与域 197

习题十 202

第十一章 格与布尔代数 206

11.1格的定义与性质 206

11.2分配格、有补格与布尔代数 213

习题十一 218

第四部分 组合数学 221

第十二章 基本的组合计数公式 221

12.1加法法则与乘法法则 221

12.2排列与组合 223

12.3二项式定理与组合恒等式 227

12.4多项式定理 232

习题十二 234

第十三章 递推方程与生成函数 237

13.1递推方程的定义及实例 237

13.2递推方程的公式解法 239

13.3递推方程的其他解法 243

13.4生成函数及其应用 251

13.5指数生成函数及其应用 261

13.6 Catalan数与Stirling数 262

习题十三 269

第五部分 图论 273

第十四章 图的基本概念 273

14.1图 273

14.2通路与回路 281

14.3图的连通性 282

14.4图的矩阵表示 287

14.5图的运算 290

习题十四 291

第十五章 欧拉图与哈密顿图 296

15.1欧拉图 296

15.2哈密顿图 300

15.3最短路问题与货郎担问题 303

习题十五 305

第十六章树 308

16.1无向树及其性质 308

16.2生成树 310

16.3根树及其应用 313

习题十六 318

第十七章 平面图 322

17.1平面图的基本概念 322

17.2欧拉公式 324

17.3平面图的判断 327

17.4平面图的对偶图 329

习题十七 331

第十八章 支配集、覆盖集、独立集、匹配与着色 334

18.1支配集、点覆盖集与点独立集 334

18.2边覆盖集与匹配 335

18.3二部图中的匹配 338

18.4点着色 340

18.5地图着色与平面图的点着色 342

18.6边着色 342

习题十八 344

第六部分 初等数论 349

第十九章 初等数论 349

19.1素数 349

19.2最大公约数与最小公倍数 352

19.3同余 355

19.4一次同余方程 358

19.5欧拉定理和费马小定理 359

19.6初等数论在计算机科学技术中的几个应用 360

习题十九 365

名词与术语索引 369

符号注释 378

参考文献 381