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目录 1

绪论 1

一、有关科学史和科学方法论的几点认识 1

二、科学分类： 6

于光远的分类；钱学森的分类、思维科学 8

三、科学与美学、逻辑与直觉 8

四、科学史分期 11

（一）科学学和科学中心的转移 11

（二）科学史分期的原则 12

（三）科学史的三个时期 12

（四）近代科学的三个时期 13

（五）现代科学的一些特点 14

五、数学史分期 15

（一）萌芽时期 15

（二）初等数学时期 15

（三）变量数学时期及特点 15

（四）近代数学时期及特点 15

（五）现代数学时期的特点及标志 15

第一篇 古代数学思想和初等数学 18

第一章 远古在数学上有贡献的几个民族 18

（一）埃及 18

（二）巴比伦 19

（三）印度 21

一、悠久的历史文化 22

第二章 中国古代数学 22

二、先秦时期的哲学和数学 23

（一）易经，八卦和排列组合 23

（二）老庄哲学和辩证法、极限思想 24

（三）《墨经》中的数学和逻辑 25

（四）中国古代的“元气说”与笛卡尔的“以太旋涡论” 26

（五）西方科学界的东方哲学热 27

三、算经十书 28

（一）算经十书的形成 28

（二）《周髀算经》 28

（三）《九章算术》 29

（四）刘徽对中国古算学理论的贡献 30

（五）《孙子算经》和“物不知其数”——中国的剩余定理 33

（六）其它算经 34

四、古代数学家 34

（一）祖冲之、祖暅 34

（二）沈括及其《梦溪笔谈》 35

（三）秦九韶和“大衍求一术” 36

（四）杨辉三角、莱布尼兹三角、递归模型、数学归纳法 37

（五）明、清前其他各家：一行（张遂）、郭守敬、朱世杰、理学家 42

五、西方数学的输入 43

启蒙大师徐光启、梅氏家族、承前启后的李善兰、沟通中西文化的先驱者利马窦六、十四世纪我国数学中断之原因 46

（2）“割圆术”与“徽率” 48

（1）“周三径一”之说 48

（一）中国古代关于圆周率的计算和研究 48

附录：圆周率之今昔 48

（3）约率、密率、祖率 49

（二）古代外国的圆周率 50

阿基米德的割圆术、鲁道夫数 51

（三）π的级数展开，分析法的应用 51

（四）π、c、i的奥秘 52

（五）π值的计算竞赛 53

几何法、分析法和计算机的使用 53

（六）“蒲丰氏问题”与π的计算 53

（七）π的性质 54

一、光辉的希腊文化 57

第三章 古希腊哲学和几何学 57

π的无理性、超越性和统计规律性 57

二、泰利斯和爱奥尼亚学派 58

三、毕达戈拉斯学派和“万物皆数” 58

四、毕达戈拉斯及其教育、哲学思想评介 60

（一）概况 61

（二）“数的系统”——毕达哥拉斯哲学基本观点，数是什么、数和范畴、数和宇宙、数和音乐 61

（三）实践、道德哲学 65

（四）对于数及数的哲学的一些评论 65

五、“宇宙的和谐”——数、天体运动和音乐 67

六、德谟克里特的原子论 68

七、爱利亚学派和芝诺疑难 69

（一）普罗他哥拉斯、高尔吉亚的怀疑论 70

八、诡辩学派和尺规作图三大不能问题 70

（二）尺规作图三大不能问题 71

（三）割圆曲线 73

（四）穷竭法 75

九、伯拉图学派的哲学和数学 75

十、亚里士多德 77

（1）概况 77

（2）关于点、线、连续性和无限 78

（3）亚里士多德的自然哲学著作 78

（4）关于时间、空间和运动 79

（5）“四因说”和“整体性悖论” 81

（6）逻辑学 83

（二）《几何原本》的形成 85

十一、欧几里得和《几何原本》 85

（一）欧几里得其人 85

（三）《几何原本》内容、方法简介 86

（四）《原本》的意义和局限性 89

（五）第五公设和非欧几何 89

十二、阿波罗尼斯及其《圆锥曲线论》 89

（一）亚历山大时期三大家之一 89

（二）《圆锥曲线论》内容简介 90

（1）圆锥曲线之直径 90

（2）极线、极点调和性质 90

（3）焦点性质 90

（6）座标的萌芽 91

十三、阿基米德——“数学的神” 91

（4）极大线、极小线、法线、渐屈线 91

（5）阿波罗尼斯（切触）问题 91

（一）“我可以移动这个地球” 92

（二）“砂粒计算器” 92

（三）“圆柱内切球”的墓碑 92

（四）阿基米德螺线 92

（五）数学中的力学方法——“阿基米德方法” 93

（六）兼收并蓄、抽象与具体相结合 93

十四、罗马帝国和希腊文化的衰退 93

（一）希腊、罗马文化的差异 93

（二）排斥异教、“焚书坑儒” 93

十五、蜂房数学 94

（1）印度——阿拉伯数字 96

（2）无理数 96

第四章 算术和代数 96

（一）数系的演变 96

（3）负数 97

（4）虚数、复数、闵可夫斯基的四维空间 97

（5）哈密顿的四元数和向量：三维复数的寻找。四元数的性质，四元数和场论、四元数和向量 100

（6）格拉斯曼的“扩张论”、超复数和张量 102

（7）复数域扩张的不可能性和结合代数 102

（8）非正统复数及其物理意义、泡利矩阵 103

（二）从算术到代数的飞跃，代数符号的使用和改进 104

（三）皮卡克关于《型的永恒性原理》 105

（四）波恩的《符号和实在》 107

（六）裴波那契数、黄金分割和优选法 108

（五）丢番图方程 108

（七）“黄金分割”与美学 109

（八）方程式和笛卡尔法则 110

（九）对数和指数 110

（十）其它：三角、计算器 111

第五章 数论及其猜想的意义 112

（1）《几何原本》、费尔马和数论 112

（2）费尔马的无限递降法 112

（3）费尔马大定理与莫德尔猜想 113

（4）费尔马无限减小原理： 114

用代数方法、几何方法证明正方形一边与对角线的不可通约性 115

（5）华林猜想 115

（7）素数的无限性 116

（6）哥德巴赫猜想和筛法 116

素数无限性的欧几里得证明、欧拉证明、素数分布的特性 118

（8）数论中的“华罗庚——王元方法”及评论 118

（9）数论和多体稳定性理论 119

（10）黎曼猜想 120

（11）素数分布和人才学的一个数学模型 121

（12）素数的一些猜想 122

（13）数学猜想的意义 123

第六章 欧洲的中世纪和文艺复兴的科学思想和数学 125

（一）中世纪 125

（二）文艺复兴 126

（三）代数和几何关系 127

（2）笛卡尔哲学的原则 130

（1）培根—笛卡尔科学（归纳演绎科学） 130

（3）笛卡尔的“空间”和“旋涡” 130

第二篇 变量数学 130

第七章 解析几何（座标几何） 130

（一）笛卡尔哲学 130

（二）笛卡尔的《几何》 131

（1）《方法论》与解析几何的诞生 131

（2）座标、曲线和方程、帕卜斯问题 131

（3）折射定律和“最小作用原理” 132

（4）笛卡尔卵形线 132

（三）费尔马的工作 133

（四）解析几何的意义和进一步的完备 133

（五）牛顿的n阶曲线的直径的理论 134

（六）惯性椭圆 134

向量分解、付氏级数、流形 135

（九）摆线的性质和历史 135

（七）直纹二次曲面——直、曲关系 135

（八）各种座标系、n维空间 135

（1）摆线的直观定义、参数方程 136

（2）亚里士多德的诡辩 136

（3）托勒密宇宙系 136

（4）渐伸线、渐屈线 136

（5）各种摆线的关系 136

（6）甲虫“数学家” 137

（7）摆线的弧长和所围的面积 137

（10）狡黠的光线—最速降线问题 138

（9）摆线名称的由来 138

（8）具无穷多拱的外摆线 138

第八章 射影几何、克莱因及其爱尔朗根纲领 140

（一）仿射变换 140

仿射变换定义和不变性、二阶曲线的9个仿射分类、仿射变换的公式（二）正交变换 141

（三）用仿射变换求椭圆面积 141

（四）伽里略变换和洛伦兹变换 142

（五）射影变换、射影几何 143

（六）克莱因的科学和教育活动 144

（1）十九世纪中叶的数学 144

（2）克莱因的科学研究 144

（3）克莱因的数学教育思想 144

（2）基本观点 145

（七）爱尔朗根纲领 145

（1）几何理论的“伟大的综合” 145

（八）自守函数理论的形成 146

（1）椭圆积分 146

（2）椭圆函数 147

（3）自守函数 148

（九）克莱因学术思想评介 148

（1）前辈的影响 148

（2）综合的能手 149

（3）对科学的“人文主义观点” 149

（4）从抽象中得到具体 149

（5）局限性——对公理法的否定 149

（6）实证主义的色彩 150

（一）古代哲学中相关的数学思想 151

（1）毕氏学派的“万物皆数”和数学单子论 151

（2）伯拉图的“理性主义” 151

（3）芝诺疑难 151

（4）穷竭法与割圆术 151

第九章 微积分、无限小的思想渊源 151

（5）亚里士多德的“直觉主义” 152

（6）兼收并蓄的阿基米德 153

（2）不可分量和连续统 154

（3）两种无限 154

（1）思辨的经院哲学 154

（二）中世纪的欧洲 154

（4）关于“形态幅度”的论述 155

（5）连续性原则、思辨精神对无限概念的意义 156

第十章 一百年的孕育 157

微积分产生的社会背景（简述） 157

（一）解析几何方法的应用 158

（二）切线和变化率问题 158

（三）极值问题 159

（四）求积问题 160

（五）二项式定理和级数 161

（六）不可分量、无穷小、连续、极限 162

（七）微分三角形 164

（九）微积分基本问题及其互逆关系，求切线与求积问题的互逆关系 165

（八）运动的“倾向”，量的“生成” 165

第十一章 牛顿、莱布尼兹，微积分的诞生 167

（一）牛顿 167

（1）牛顿的“流数术” 168

（2）最初比、最后比和极限 169

（3）对牛顿科学思想的几点看法 170

（二）莱布尼兹的无限小微积分 170

（1）莱布尼兹的各阶差、微分 171

（2）微分三角形、连续性原理 172

（3）莱布尼兹科学思想的分析 173

（1）“披着宗教外衣”反对宗教，“数学设计”的信念 174

（三）莱布尼兹哲学及其对科学的意义 174

（2）单子论——德国古典哲学辩证法的先驱 175

（3）单子论和无穷小的阶、微分三角形、连续性原理、全息律思想 175

（四）牛顿、莱布尼兹的比较 177

（1）共同点 177

（2）牛顿的“物理”方向、莱布尼兹的“哲学”方向 177

（五）优先权的争论 177

（六）关于微积分基础的争论 178

（1）争论的必然性 178

（2）贝克莱对微积分的攻击 178

第十二章 无穷小、极限、级数、微积分概念的进一步演变 181

（一）罗必达的“无穷小分析” 181

（三）拉格朗日和欧拉的“纯代数的微分学” 182

（二）达朗贝尔的极限论——“理性的微分学” 182

（四）继往开来的哥西 184

（五）波尔察诺、外尔斯特拉斯的“ε—δ”方法 185

（六）函数的连续性、可微性、可积性、微积分基本定理 186

（七）实数理论的建立 188

（八）级数和微积分 189

（1）级数扼要的历史 189

（2）渐近级数及其应用 191

（3）发散级数求和 192

（一）“模糊中偶见光明” 195

（二）集合的特征函数、函数的图 195

第十三章 模糊数学评介 195

第三篇 现代数学思潮评介、数学基础 195

（三）模糊集、程度函数、分解定理 196

（四）观念和方法的重大变革 198

（五）模糊集的贴近度、距离、模糊度（熵） 198

（六）模糊数 199

（七）模糊点 200

（八）模糊函数和扩张原理 201

（九）乘积模糊集、模糊关系、模糊图、模糊矩阵 201

（十）模糊聚类分析、模糊模型识别 203

（十一）模糊集的推广：L—模糊集、高阶模糊集 204

（十二）概率性、模糊性、可能性及其在认识论上的意义 205

（1）可能性理论的提出，三者的关系 205

（3）可能性分布 206

（2）模糊约束 206

（4）可能性的意义及其与概率的区别 207

（十三）应用举例：“他出之石，可以攻玉” 208

（十四）发展、问题和展望 208

（十五）简要的哲学分析 209

第十四章 非标准分析及其在认识论上的意义 211

（一）非标准分析的提出 211

（二）数学结构和形式语言 212

（1）数学结构、标准实数域R 212

（2）形式语言、分析的标准模型R 212

（3）分析的非标准模型＊R、无穷小数 213

（2）紧致性定理 213

（1）紧致性和哥德尔完全性定理 213

（三）紧致性定理、分析的非标准模型＊R 213

（四）＊R的单子结构 214

（五）＊R中数的种类、单子显微镜 214

（六）关于极限？＝1 215

（七）＊R上的函数的概念 215

（八）微分、连续、积分 215

（九）微分三角形、（sinθ）′＝cosθ证明 216

（十）δ—函数与无穷小分析 217

（十一）在数学物理中的若干应用 218

（1）源极和偶极子 218

（2）量子力学和自共轭算子的特征值 218

（1）康妥的实数理论 219

（2）非标准实数域＊R的高桥模型 219

（3）其他方面 219

（十二）非标准实数域的一个实现 219

（十三）非标准数学的方法论意义 220

微积分和辩证法——非标准分析与《数学手稿》的关系及其在认识论上的意义 221

1．无穷小的演变 221

（1）无穷小和微积分的创建 221

（2）“ε—δ”方法和无穷小 222

（3）标准分析应该怎样更数学化 222

2．马克思《数学手稿》与标准分析、非标准分析的关系 223

（1）无穷小增量和微分 224

（2）微、积运算的互逆性 224

3．数学的量子化——＊R的单子结构 224

（3）对立面转化的环境 225

（4）局部性质的精确表现 226

4．非标准数学在认识论、方法论上的启发 226

（1）科学和哲学 226

（2）理论层次和物质世界的层次性 227

（3）点的可分性 228

（4）时、空观念 229

（5）无穷小、单子结构的意义 230

（6）非标准数学的综合作用 231

第十五章 突变理论 233

（一）系统稳定性与“拉普拉斯决定论” 233

（二）C∞（Rn）的芽空间 234

（三）分类定理 235

（四）应用 236

（五）分析与评论 237

第十六章 泛系分析与科学方法论 239

（一）综合性、横断性学科——方法论的数学化 239

（二）泛系、泛对称 239

（三）形影关系、会诊原理、观控水平 240

（四）泛系重演律、树结构 240

（五）泛箱原理、泛系观控律 240

（六）宏、微兼顾，对应原理 241

（七）潜会诊与未来学 241

（八）等价对应原理与异同观 241

（一）悖论的起源、意义和现状 243

第十七章 悖论及其科学意义 243

（二）常见的悖论 244

（1）康妥最大基数悖论 244

（2）最大序数悖论 244

（3）罗素悖论 244

（4）理发师悖论 244

（5）理查德悖论 244

（6）格雷林悖论 245

（7）说谎者悖论 245

（8）语义悖论与集合论的关系 245

（9）其他 245

（a）梵学者的预言 245

（e）蠕虫爬橡皮绳 246

（d）奇妙的方阵 246

（b）“意料之外的考试” 246

（c）阿洛（选举）悖论 246

（f）哪辆车上异性多 247

（g）广义的芝诺悖论 247

（三）悖论的性质、成因、分类 248

（1）认识论方面的因素 248

（2）方法论方面的因素 249

（a）康妥概括原则的分析 249

（3）分类 250

（四）解决悖论的方案 250

（1）罗素的“分支类型论” 250

（c）悖论与方程的解 250

（b）语义学方面的因素 250

（2）塔尔斯基的语言层次 251

（3）公理集合论、ZFC系统 252

（a）划分公理与概括原则 252

（b）ZFC公理系统 253

（c）ZFC系统与实数理论 254

（4）其他 254

（五）数学、物理的发展与悖论，悖论的意义 254

（1）悖论与数学“危机” 255

（a）希帕索斯的不可通约量、芝诺疑难——数学的第一次“危机” 255

（b）贝克莱悖论、微积分基础的争论——数学的第二次“危机” 255

（c）罗素悖论——数学的第三次“危机” 255

（2）悖论与哥德尔不完全性定理 255

（3）科学革命与悖论、热情和追求 256

（4）光速悖论与物理学革命 257

（a）光速悖论与光速不变原理 258

（b）狭义相对性原理 258

（5）“引力佯谬”、“光度佯谬”和宇宙论、哈勃宇宙、宇宙膨胀与宇宙无限性 258

（6）“整体性悖论”与现代系统论 259

（六）“逻辑悖论”与“悖论逻辑” 260

第十八章 数学基础、数学哲学 261

（一）几个学派 261

（1）逻辑主义学派 261

（2）直觉主义学派 261

（4）现代的伯拉图主义与形式主义 262

（5）数学中经验主义的复兴 262

（3）形式主义学派 262

（二）无限论 263

（1）实无限、潜无限 263

（2）不断延伸原理、相对穷竭原理 263

（3）潜尾理论 263

（4）双相无限 263

（5）选择公理与决定性公理 264

（6）连续统假设 264

（三）数学的本质 264

（1）数学研究的对象 264

（2）数学理论的真理性问题 265

（3）数学中的实验方法 265

数学是科学还是艺术？ 267

数学是发明还是发现 269