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第一篇 无穷级数 1

第一章 数项级数 2

1收敛、发散概念和柯西收敛准则 2

1.1收敛、发散概念 2

1.2收敛级数的基本性质及其运算 5

1.3柯西收敛准则及其推论 7

2正项级数的敛散性判别 11

2.1比较原理 11

2.2积分判别法 15

2.3达朗贝尔判别法和柯西判别法 17

3任意项级数的敛散性判别 24

3.1阿贝尔变换和引理 24

3.2阿贝尔判别法和狄利克来判别法 26

3.3绝对收敛与条件收敛 30

4级数的运算性质 34

4.1级数的重排 34

4.2级数的结合律 35

4.3级数的乘法 36

第二章 函数级数 39

1收敛域与和函数 39

1.1收敛域 39

1.2和函数 41

1.3收敛域的逐点判别定理 41

2函数级数的一致收敛 42

2.1一致收敛 43

2.2一致收敛的判别法 45

2.3内部一致收敛 51

3和函数的性质 54

3.1和函数的连续性 55

3.2逐项积分性质 56

3.3逐项微商定理 57

第三章 幂级数 59

1收敛域结构及其求法 59

1.1收敛域的结构 59

1.2收敛半径的求法 61

1.3幂级数的运算性质 65

2和函数的性质 70

2.1逐项求导级数的收敛半径 70

2.2内部一致收敛性 71

2.3和函数的性质 72

2.4在x=x0点的幂级数 74

3初等函数的幂级数表示 77

3.1必要条件 78

3.2充分条件 80

3.3初等函数在x=0点的泰勒展式 81

3.4在x=x0点的泰勒展开 86

第四章 付立叶级数 90

1形式付立叶级数 90

1.1三角函数系及其直交性 90

1.2付立叶系数 92

1.3形式付立叶级数 93

1.4贝塞尔不等式和黎曼引理 96

2收敛定理 98

2.1引理和命题 98

2.2收敛定理 105

2.3付立叶级数的指数形式 113

3付立叶级数的逐项积分和逐项微商 117

3.1一致收敛定理 117

3.2逐项积分定理 120

3.3逐项微商定理 121

4一般区间上的结论 125

4.1收敛定理及其推论 125

4.2微分法 128

5付立叶积分公式 132

5.1形式公式 132

5.2基本引理 134

5.3付立叶积分公式 135

6二重付立叶级数 139

6.1收敛定理 139

6.2推论 141

7狄利克来收敛定理 143

7.1第二中值定理 143

7.2狄利克来引理 146

7.3狄利克来收敛定理 149

8广义付立叶级数 150

8.1内积概念和基本不等式 150

8.2正交归一化系 151

8.3广义付立叶级数及其收敛概念 152

8.4完全系统的概念及其判别 154

第二篇 常微分方程 156

第五章 常微分方程中的名词和概念 156

1实际问题中的微分方程 156

1.1什么是微分方程 156

1.2实际问题中的微分方程 157

2微分方程中的名称 160

2.1微分方程的阶 160

2.2线性方程和非线性方程 161

3微分方程的解 162

3.1微分方程的解 162

3.2微分方程的通解 163

3.3定解问题的解 164

3.4方向场的概念和解的几何解释 165

3.5定解问题的研究课题 167

第六章 一阶微分方程的初等解法 170

1可分离变量的方程 170

1.1可分离变量的方程 170

1.2齐次方程 171

1.3准齐次方程 173

2一阶线性方程 177

2.1齐次线性方程 178

2.2非齐次线性方程 178

2.3伯努利方程 181

3恰当方程和积分因子 186

3.1恰当方程的概念 186

3.2恰当方程的判别 186

3.3积分因子的概念 191

3.4积分因子的求法 192

4一阶隐式方程 199

4.1参数形式的解 199

4.2方程y=f（x，y′） 200

4.3方程x=f（y，y′） 202

5解题的灵活性和应用举例 204

5.1解题的灵活性 204

5.2应用举例 209

第七章 高阶方程和方程组的解法 218

1特殊的非线性高阶方程的解法 218

1.1dny/dxn=f（x）型的方程 218

1.2y″=f（x，y′）型的方程 220

1.3y″=f（y，y′） 221

1.4解题的灵活性 222

2二阶线性方程的解法 227

2.1通解的结构定理 227

2.2置换法和视常数为变数法 228

2.3常系数齐次线性方程的通解 231

2.4待定系数法 234

2.5幂级数解法 241

3方程组的初等积分法 245

3.1方程组的概念 245

3.2方程组的名词 245

3.3解方程组的消元法 248

3.4解方程组的首次积分法 249

4应用举例 255

4.1方程式的应用例题 255

4.2方程组的应用例题 261

第八章 高阶线性方程 272

1函数间的线性关系 272

1.1函数的线性相关和线性无关概念 272

1.2相关性的判别 273

2解的存在与唯一性定理 275

2.1迭加原理 275

2.2解的存在与唯一性定理 277

2.3解组的线性关系的判别 277

3通解的结构定理 280

3.1齐次方程通解的结构定理 280

3.2非齐次方程通解的结构定理 281

4高阶线性方程的解法 283

4.1常系数齐次方程的基本解组 283

4.2欧拉（Euler）方程 286

4.3解非齐次方程的待定系数法 288

第九章 一阶线性方程组 294

1解的存在与唯一性定理 294

1.1迭加原理 294

1.2解的存在与唯一性定理 296

1.3解组的线性关系的判别 297

2解的结构定理 300

2.1齐次线性方程组通解的结构 300

2.2非齐次线性方程组通解的结构 302

3一阶线性方程组的解法 303

3.1常系数方程组的基本解组 303

3.2视常数为变数法 309

3.3待定系数法 311

第十章 解的存在与唯一性定理 318

1一阶方程解的存在与唯一性定理 318

1.1李普希茨条件 318

1.2正规形方程解的存在与唯一性定理 318

1.3用逐步逼近法求近似解 322

1.4一阶隐式方程解的存在与唯一性定理 323

2方程组解的存在与唯一性定理 325

2.1李普希茨条件 325

2.2一阶方程组的存在与唯一性定理 326

2.3一阶线性方程组存在与唯一性定理 327

3高阶方程式解的存在与唯一性定理 328

3.1基本引理 328

3.2存在与唯一性定理 330

4奇解 331

4.1奇解的概念 331

4.2奇解的求法 333

第十一章 一阶偏微分方程 342

1名称和基本概念 342

1.1一阶偏微分方程 342

1.2通解和特解 343

2一阶线性齐次方程 344

2.1特征方程组 344

2.2首次积分与通解 346

2.3多个自变量的线性齐次方程 350

3一阶拟线性方程 352

3.1拟线性方程解法 352

3.2初值问题的解法 354

答案与提示 359