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第一章 函数与极限 1

自学指导 1

1.1　集合 3

一、集合 3

二、区间 4

习题1.1 4

1.2 函数 6

一、变量的对应关系 6

二、函数的定义 6

三、函数的定义域 7

四、函数举例 8

习题1.2 9

1.3　函数的几种特性 11

一、函数的奇偶性 11

二、函数的单调性 11

三、函数的周期性 11

四、函数的有界性 11

习题1.3 12

1.4　初等函数 13

一、基本初等函数 13

二、复合函数 15

三、初等函数 16

习题1.4 16

1.5　数列极限 18

一、数列 18

二、数列的极限 18

习题1.5 20

1.6 函数极限 21

一、当x→∞，函数f（x）的极限 21

二、当x→x0时函数f（x）的极限 22

习题1.6 25

1.7　无穷小量与无穷大量的极限运算法则 26

一、无穷小量 26

二、无穷大量 26

三、无穷小量的比较 27

四、极限运算法则 28

习题1.7 30

1.8　两个重要极限 31

一、lim x→0 sinx/x=1 31

二、lim x→∞(1+1/x）x=e 32

习题1.8 34

1.9 函数的连续性 35

一、连续的概念 35

二、连续函数的性质 37

三、初等函数的连续性 37

四、闭区间上连续函数的性质 38

习题1.9 38

自我测试题一 39

附录一 中国古代数学家祖冲之简介 42

第二章　导数与微分 44

自学指导 44

2.1　导数的概念 46

一、导数的引进 46

二、导数的定义 48

三、基本初等函数的导数举例 49

四、导数的几何意义 51

五、可导与连续的关系 51

习题2.1 52

2.2　求导法则与导数基本公式 53

一、导数的和、差、积、商的求导法则 53

二、反函数求导法则 55

三、复合函数求导法则 55

四、基本初等函数的导数公式 57

习题2.2 57

2.3　隐函数的导数 59

一、隐函数与显函数 59

二、隐函数的导数 59

习题2.3 61

2.4　高阶导数 62

一、高阶导数的含义 62

二、二阶导数的物理意义 63

习题2.4 63

2.5　微分 65

一、微分的定义 65

二、微分的运算法则 66

三、微分的应用 68

习题2.5 69

自我测试题二 70

附录二　数学家牛顿简介 72

第三章　导数的应用 75

自学指导 75

3.1　微分中值定理 77

一、罗尔定理 77

二、拉格朗日中值定理 78

三、柯西中值定理 79

习题3.1 80

3.2　洛必达法则 81

一、0/0型不定式 81

二、∞/∞型不定式 82

三、其他类型的不定式 83

习题3.2 84

3.3 函数的单调性与极值的判定 85

一、函数的单调性 85

二、函数的极值 87

习题3.3 89

3.4　函数的最值及应用 90

习题3.4 92

自我测试题三 93

附录三　数学家莱布尼兹简介 95

第四章　积分学 98

自学指导 98

4.1　定积分 100

一、定积分的概念 100

二、定积分的性质 105

三、变上、下限积分 108

习题4.1 113

4.2　不定积分 114

一、不定积分的概念 114

二、不定积分的性质 116

三、基本积分公式 116

习题4.2 119

4.3　积分的运算 121

一、换元积分法 121

二、分部积分法 131

习题4.3 134

4.4　积分式的建立与积分的应用 136

一、如何建立积分式——积分微元素法 136

二、平面图形的面积 137

三、空间立体的体积 138

四、定积分在物理中的应用举例 141

五、定积分在经济学中的应用举例 142

习题4.4 144

自我测试题四 146

附录四　双目失明的数学大师——欧拉 148

第五章　二元函数微积分简介 151

自学指导 151

5.1　二元函数的概念 153

一、二元函数的定义 153

二、二元函数的几何意义 155

习题5.1 156

5.2　二元函数的极限与连续 157

一、二元函数的极限 157

二、二元函数的连续 158

习题5.2 159

5.3　二元函数的偏导数 160

一、偏导数的定义 160

二、高阶偏导数 161

三、二元复合函数求导 162

四、隐函数的求导公式 163

习题5.3 165

5.4　二元函数的全微分 166

习题5.4 168

5.5　二元函数的极值 169

一、二元函数的极值 169

二、二元函数的最值 170

习题5.5 172

5.6　二元函数积分简介 174

一、二重积分的概念 174

二、二重积分的性质 175

三、二重积分的计算 176

习题5.6 179

自测试题五 180

附录五　数学家柯西简介 183

习题参考答案与提示 185

参考文献 201