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绪论 1

第一章 函数与极限 8

实数 8

有理数域 8

无理数 11

实数域及其完备性 13

数轴与绝对值不等式 17

习题1.1 21

函数的概念 23

函数的定义与例 24

反函数与复合函数 28

周期函数 31

有界函数与无界函数 32

初等函数 33

习题1.2 36

序列的极限 38

序列极限的定义 38

极限的四则运算 45

实数域完备性的表述 49

习题1.3 50

序列极限的基本性质 52

子序列的极限 52

夹逼定理 53

极限不等式 55

一个重要的极限 56

无穷小量与无穷大量 58

习题1.4 61

函数的极限 63

极限的定义 63

单侧极限 68

当x趋于无穷时的极限 70

无穷小量与极限的四则运算 73

习题1.5 78

函数极限的性质 79

函数极限与序列极限 79

夹逼定理 81

极限不等式 84

习题1.6 87

连续函数 88

连续函数的定义 88

间断点及其分类 90

连续函数的四则运算 92

复合函数与严格单调函数的连续性 92

初等函数的连续性 95

习题1.7 97

闭区间上连续函数的性质 98

区间套原理与波尔查诺－魏尔斯特拉斯定理 99

中间值定理 101

有界性定理 104

最大值与最小值定理 105

反函数的连续性 107

附注 108

习题1.8 109

第二章 导数与微分 111

导数的概念及其四则运算 111

导数的定义 111

可导与连续 116

导数的四则运算 116

函数的可导性 119

习题2.1 122

复合函数与反函数的导数 124

复合函数的导数 124

隐函数求导法 126

反函数的导数 127

习题2.2 131

微分的概念 133

无穷小量阶的比较 133

微分的概念 134

习题2.3 137

高阶导数与高阶微分 138

习题2.4 141

一阶微分的形式不变性 142

一阶微分的形式不变性 142

参变量函数微分法 144

习题2.5 145

第三章 微分中值定理 147

拉格朗日中值定理 147

费马定理与罗尔定理 147

拉格朗日中值定理 149

拉格朗日中值定理的一些直接应用 150

习题3.1 155

柯西中值定理与洛必达法则 157

柯西中值定理 157

洛必达法则 158

其他未定式的极限 164

习题3.2 165

极值问题 166

极值点与稳定点 166

稳定点是极值点的充分条件 166

最大（小）值问题 166

几个实例 169

习题3.3 171

泰勒公式 173

局部泰勒展开式 173

泰勒展开式中的余项 181

习题3.4 184

函数的凸凹性及函数作图 185

函数的凸凹性 186

渐近线 193

函数的作图 194

习题3.5 196

第四章 不定积分 198

原函数与不定积分 198

原函数 198

基本不定积分表 199

不定积分的线性法则 201

求不定积分的意义 203

习题4.1 205

不定积分换元法则 205

第一换元法则 206

第二换元法则 208

习题4.2 212

分部积分法 213

习题4.3 218

有理函数的积分 219

有理式与部分分式 219

部分分式的不定积分 224

有理式积分的一般步骤 228

习题4.4 229

不定积分的有理化方法 229

三角函数的有理式 229

某些根式的不定积分 232

习题4.5 234

第五章 再论实数与连续函数 235

实数集合的上下确界 235

上确界 235

下确界 237

存在性定理 238

函数值的振幅 240

习题5.1 241

上下极限与柯西收敛原理 243

序列情形 243

关于当x→a时函数y=f（x）的上下极限与柯西收敛原理 248

关于实数域的完备性的注记 250

习题5.2 250

闭区间上连续函数的一致连续性 251

一致连续的概念 251

闭区间上连续函数的一致连续性 255

习题5.3 259

第六章 定积分 261

定积分的基本概念 261

定积分的定义 261

函数可积的必要条件 265

定积分若干基本性质 267

习题6.1 270

连续函数的可积性 271

达布大和与达布小和 272

连续函数的可积性 275

其他几类可积函数 276

习题6.2 278

变上限的定积分 278

习题6.3 283

微积分基本定理 284

习题6.4 287

定积分的分部积分法则 288

习题6.5 290

定积分的换元法则 291

换元法则 291

奇（偶）函数的积分 294

周期函数的积分 296

习题6.6 297

定积分的近似计算 298

矩形法 298

梯形法 301

辛普森法 304

习题6.7 306

定积分的若干应用 306

曲线弧长的计算 306

旋转体的体积与侧面积 311

平面极坐标下的曲线弧长及图形面积 314

曲线曲率的计算 317

习题6.8 321

附录：达布定理与勒贝格定理 322

第七章 多元函数微分学 330

多元函数与Rn中的拓扑 330

多元函数 330

Rn中的集合 333

向量值函数 338

习题7.1 340

多元函数的极限 341

二元函数极限的定义 341

二元函数极限的基本性质 346

累次极限 347

向量值函数的极限 348

习题7.2 349

多元连续函数 350

多元函数连续性的定义 350

连续函数的一般性质 351

初等二元函数及其连续性 354

习题7.3 355

有界闭区域上多元连续函数 357

矩形套原理及波尔查诺－魏尔斯特拉斯定理 357

有界闭区域上的连续函数 359

习题7.4 363

偏导数与全微分 365

一阶偏导数的定义 365

偏导数的几何意义 367

多元函数的可微性及其必要条件 368

多元函数可微的充分条件 372

多元函数微分的几何意义 375

习题7.5 376

高阶偏导数与高阶全微分 378

高阶偏导数 378

高阶全微分 381

习题7.6 384

复合函数的微分法 386

多元函数求导的链规则 386

一阶全微分的形式不变性 393

方向导数 394

梯度 397

习题7.7 398

多元函数的微分中值定理与泰勒公式 400

二元函数的微分中值定理 400

多元函数的泰勒公式 403

习题7.8 409

多元函数极值问题 410

极值的必要条件 410

极值的充分条件 411

n元函数的极值 417

最小二乘法 419

习题7.9 422

隐函数存在定理 423

隐函数的概念 423

单个方程的情形 425

多个方程的情况 431

逆变换的存在定理 438

习题7.10 441

条件极值问题 442

问题的提法 442

λ乘子法 444

多个约束条件的极值问题 448

函数在闭区域上的最大（小）值问题 453

条件极值问题与不等式的证明 453

习题7.11 454

多元微分学与几何 456

空间曲线的切线与弧长 456

曲面的切平面与法向量 462

习题7.12 468

习题答案 471